Integraler och summor

Röda staplarna illustrerar summan då n=5.

Integralen från 1 till 5 är arean av de 4 första röda staplarna som är under linjen. f(n) är den 5e röda stapeln. Summera ihop dessa 2 så blir de mindre än summan.

Integralen + den första stapeln (som är f(1)) gör att du kan "förskjuta" linjen 1 steg till höger, likt de blå staplarna. Detta blir större än summan.

Ursäkta om det inte blev helt tydligt, men det bästa är att rita bilder med staplar och linjer precis som du gjort!

Tack! 

Det jag inte förstår angående lösningsförslaget är att jag tycker att det är samma integral men på den ena adderas en extra f(1). Varför läggs det till en till så att det totalt blir två f(1) respektive f(n)?

Om integralerna hade gått från 1-399 respektive 2-400 hade jag varit med på varför dessa adderas.

Du har en avtagande funktion. Varje strimma har bredden 1, och du har 400 strimmor. Eftersom det är en avtagande funktion gäller det för alla strimmor att värdet i vänsterkanten av varje strimma är större än värdet i högerkanten. Det betyder att översumman i samtilga fall använder sig av värdet i vänsterkanten som höjd, och att undersumman använder värdet från högerkanten.

För översummorna gäller att den första strimman har bredden 1 och höjden f(0), den andra har bredden 1 och höjden f(1), den tredje har höjden f(2) och så vidare, tills den näst sista strimman har höjden f(398 ) och den sista strimman har höjden f(399).

För undersummorna gäller att den första strimman har bredden 1 och höjden f(1), den andra har bredden 1 och höjden f(2), den tredje har höjden f(3) och så vidare, tills den näst sista strimman har höjden f(399 ) och den sista strimman har höjden f(400).

Detta betyder att översumman använder sig av f(0) + (f(1)+f(2)+ ... + f(399)) medan undersumman använder sig av (f(1)+f(2)+ ... + f(399)) + f(400).

Aorta skrev:

Tack! 

Det jag inte förstår angående lösningsförslaget är att jag tycker att det är samma integral men på den ena adderas en extra f(1). Varför läggs det till en till så att det totalt blir två f(1) respektive f(n)?

Om integralerna hade gått från 1-399 respektive 2-400 hade jag varit med på varför dessa adderas.

Jag tror du missar det faktum att integralen integreras över ett "mindre" område än summan.

Låt n=5 för enkelhetens skull. Basen av det område som summan illustrerar är 5 (börjar i punkten 1, slutar i punkten 6). Basen av det område som integralen utförs på är 4 (från punkt 1 till punkt 5). Därmed måste du addera ett funktionsvärde till integralen för att göra området lika brett som summan. Valet av detta funktionsvärde är gjort med hänsyn till att funktionen är avtagande, som Smaragdalena förklarar.

Calle_K skrev:

Jag tror du missar det faktum att integralen integreras över ett "mindre" område än summan.

Låt n=5 för enkelhetens skull. Basen av det område som summan illustrerar är 5 (börjar i punkten 1, slutar i punkten 6). Basen av det område som integralen utförs på är 4 (från punkt 1 till punkt 5). Därmed måste du addera ett funktionsvärde till integralen för att göra området lika brett som summan. Valet av detta funktionsvärde är gjort med hänsyn till att funktionen är avtagande, som Smaragdalena förklarar.

Jaha, nej det är jag inte helt med på. En annan sak som jag inte förstår är om varken f(n) eller f(1) "ingår" i integralen? Då den integreras från 1-n och det är samma funktion som används tänker jag  att f(1) borde ingå men inte f(n) då den "tar slut" vid n och inte får med värdet för f(n).

Aorta skrev:

Calle_K skrev:

Jag tror du missar det faktum att integralen integreras över ett "mindre" område än summan.

Låt n=5 för enkelhetens skull. Basen av det område som summan illustrerar är 5 (börjar i punkten 1, slutar i punkten 6). Basen av det område som integralen utförs på är 4 (från punkt 1 till punkt 5). Därmed måste du addera ett funktionsvärde till integralen för att göra området lika brett som summan. Valet av detta funktionsvärde är gjort med hänsyn till att funktionen är avtagande, som Smaragdalena förklarar.

Jaha, nej det är jag inte helt med på. En annan sak som jag inte förstår är om varken f(n) eller f(1) "ingår" i integralen? Då den integreras från 1-n och det är samma funktion som används tänker jag  att f(1) borde ingå men inte f(n) då den "tar slut" vid n och inte får med värdet för f(n).

Förstod du den första delen ang. olika bredder på integrationsområdet efter förklaringen, eller är det fortfarande otydligt?

f(1) och f(n) är ändpunkterna för integralen, så de är tekniskt sett med. Men kom ihåg att integralen av en punkt är 0, så ensamma kommer de inte bidra med någonting till integralen. Det är intervallen som bidrar, 1 till 2, 2 till 3, ..., n-1 till n. Därför finns det 1 mindre stapel för integralen än för summan.

Det vi gör när vi adderar t.ex f(1) är att vi lägger till en rektangel med bredd 1 och höjd f(1).