Integraler och summor

Hej pluggakuten, jag sitter med bevisuppgifter. De är rätt givande och roliga, men ger sällan en möjlighet till att kontrollera om man tänkt rätt.

Jag ska:

Visa med integraluppskattning att: $35 \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} \leq 40}_{k = 1}^{400}$

Jag tog mig an att göra detta genom att göra två trappfunktioner, en där jag går från höger till vänster samt en till där jag går från höger till vänster. Arean som uppstår under dessa trappfunktioner jämför jag sedan med integralen som motsvarar summan här ovan.

$D å j a g g å r f r å n v ä n s t e r t i l l h ö g e r \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}}}_{k = 1}^{399} I d e n n a s u m m a m i s s a r j a g d e n s i s t a b i t e n, s å : \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \frac{1}{\sqrt{400}} \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}}}_{k = 1}^{399} + \frac{1}{\sqrt{400}} = {\sum \frac{1}{\sqrt{k}}}_{k = 1}^{400} D å j a g g å r f r å n h ö g e r t i l l v ä n s t e r {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} \leq}_{2}^{400} \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x I d e n n a s u m m a m i s s a r j a g a l l d e l e s i b ö r j a n a v d e n u r s p r u n g l i g a s u m m a n, s å : {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} =}_{k = 1}^{400} {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{1}} \leq}_{2}^{400} \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \frac{1}{\sqrt{1}} \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \frac{1}{\sqrt{400}} \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} \leq}_{k = 1}^{400} \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \frac{1}{\sqrt{1}} \int_{1}^{400} \frac{1}{\sqrt{x}} d x = [2 \sqrt{x}] \int_{1}^{400} = 2 \sqrt{400} - 2 \sqrt{1} = 40 - 2 = 38 38 + \frac{1}{\sqrt{400}} \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} \leq}_{k = 1}^{400} 38 + \frac{1}{\sqrt{1}} 38 + \frac{1}{20} \leq {\sum \frac{1}{\sqrt{k}} \leq}_{k = 1}^{400} 39$

Därefter kommer jag inte längre, men summan jag har fått fram är större än 35 och samtidigt mindre än 40.

Är detta bevis korrekt utfört?

Jag tycker det ser snyggt ut.

Jag tror de har tagit till lite extra marginal i uppgiftens intervall för att tillåta lite olika bevis. Man kan göra på lite olika sätt, och få lite olika intervall (dock inom uppgiftens intervall).

Du flyttade summan ett "hack" och jämförde med integralen $\int_{} \frac{1}{\sqrt[]{k}} d k$ , samt justerade i ändpunkterna. Man kan också låta summan vara densamma och flytta integralen ett "hack", $\int_{} \frac{1}{\sqrt{1 + k}} d k$ , samt justera i ändpunkterna. Blir ungefär samma sak.

Tackar!

Svara