Integraler och storheter

Den första enheten efter C stycken enheter kostar $\sqrt{\frac{50}{2·1+1}}$

Den andra enheten efter C stycken enheter kostar $\sqrt{\frac{50}{2·2+1}}$

Den tredje enheten efter C stycken enheter kostar $\sqrt{\frac{50}{2·3+1}}$

Du menar nog den första enheten efter  k  st  etc

Ser man det så styckvis, borde det bli  summor och inte integraler.
Men låt oss betrakta integralen som som en god approximation till summan...

Beteckningarna i texten är delvis förvirrande,
K  är ju en funktion med argumentet  x  .
Alltså K(x) och inte bara K som det står i facit.

Vi tar det från början.
K(x) är kostnaden för att tillverka  x  styck  (eller enheter)

Hur  K(x)  ser ut för  x < k   får vi inte veta,
men   K(x) = C  för  x = k     (dvs  K(k) = C).

För  x > k får vi veta att   K'(x) = $\frac{50}{\sqrt{2x+1}}$   
Här betraktar vi  x  som en kontinuerlig variabel, annars  kan inte K'(x) definieras.  
Om  x  är en heltalsvariabel (diskret), blir det i stället  ∆K(x), "förstadifferensen".

För  $x>k$  får vi nu   $K\left(x\right)$ = $K\left(k\right)$ + ${\int }_0^{x-k}K\text{'}\left(t\right)dt$

vilket ger    $K(k+a)$ = C + ${\int }_0^a\frac{50}{\sqrt{2t+1}}dt$ = C – 50 + $\sqrt{2a+1}$

Puh.  Vilken formelexercis!