Integraler och primitiva funktioner

En fundering; borde man inte använda formeln för kurvlängd?

$S=\int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2}dx$

Se exempel här: https://gamla.pluggakuten.se/forumserver/viewtopic.php?id=35563

Jag har inte gått igenom kurvlängd i kursen än iallafall. Den enda formen av att räkna ut arean med primitiv funktion är just 

F(b) - F(a). 

Kan hända att det kanske kommer i nästa kapitel i boken. 

Om du har två parabler med nollställen i (0,0) och (18,0) och med extremvärden i (9,35) respektive (9,-35) så kan de skrivas som $y=\pm kx(18-x)$ där k=35/81. Jag skulle inte bry mig om att multiplicera in k i funktionen, utan att konstatera att imrådet är 4 ggr så stort som integralen av "den ena kurvan" från 0 till 9 och låta konstanten vara kvar utanför integralen.

Smaragdalena skrev:

Om du har två parabler med nollställen i (0,0) och (18,0) och med extremvärden i (9,35) respektive (9,-35) så kan de skrivas som $y=\pm kx(18-x)$ där k=35/81. Jag skulle inte bry mig om att multiplicera in k i funktionen, utan att konstatera att imrådet är 4 ggr så stort som integralen av "den ena kurvan" från 0 till 9 och låta konstanten vara kvar utanför integralen.

Jag hänger inte riktigt med. För det första, din y funktion, är min fel? Ska det inte va y=kx + bx? Eller som jag skrivit då, y = 0.4321x + 7.7778x? 

Jag hänger med vad du menar med att låta konstanten vara utanför. Men dom vill ha arean av ena parabeln, i detta fallet den jag ritat upp. Känns mer komplicerat med att skriva kurvan från 0-9 och sedan konstatera att området är 4ggr så stort. Tror inte jag förstår anledningen bakom. 

Jag skulle nog valt en ellips (ifall det var tillåtet att välja funktion fritt, utmaningen är att få omkretsen att bli 70 m).

$a=\frac{18}{2}=9$

Omkretsen $C=70$, vilket gör att $b$ kan bestämmas (approximativt).

Slutligen fås arean som:

$A=ab\pi$

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Ellips_(matematik)

tomast80 skrev:

Jag skulle nog valt en ellips (ifall det var tillåtet att välja funktion fritt, utmaningen är att få omkretsen att bli 70 m).

$a=\frac{18}{2}=9$

Omkretsen $C=70$, vilket gör att $b$ kan bestämmas (approximativt).

Slutligen fås arean som:

$A=ab\pi$

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Ellips_(matematik)

Nej, nu har du läst uppgiften fel.

Smaragdalena skrev:

tomast80 skrev:

Jag skulle nog valt en ellips (ifall det var tillåtet att välja funktion fritt, utmaningen är att få omkretsen att bli 70 m).

$a=\frac{18}{2}=9$

Omkretsen $C=70$, vilket gör att $b$ kan bestämmas (approximativt).

Slutligen fås arean som:

$A=ab\pi$

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Ellips_(matematik)

Nej, nu har du läst uppgiften fel.

Nej, Smaragdlena, jag har läst rätt. Om man säger att en stensättning (läs: mur) har en viss längd så innebär det längden på ett snöre som man lägger på muren. Dock inser jag att den uppgiften vore för avancerad för att beräkna så man har slarvigt kallat ”höjden” för ”längden”. Blir bakläxa för uppgiftsskrivaren.

Du kan jämföra med längden på kinesiska muren, den är definitivt beräknad utifrån min tolkning (med snöre):

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Kinesiska_muren

Nej, höjden av en mur måste vara hur högt den sträcker sig ovanför markytan - jag kan inte tänka mig en höjd som mäts längs markytan. Det hade varit bättre om de hade skrivit "på ena hållet" och "på andra hållet" i den här uppgiften. 

Kurvlängd är fel här, de frågar ju efter en area.

Du ser ut att ha gjort allting rätt (jag lusläste dock inte alla steg). Man kan ju välja på flera sätt var origo är, så det finns flera formler som är rätt.

Nu när jag har sovit på saken så skulle jag ha ritat upp stenläggningen så att den har två hörn i (-9,0) och (9,0) och de andra bortersta punkterna i (0,35) och (0,-35). I så fall blir arean ${\int }_{-9}^{9}35-k{x}^2-(-35+x^2)dx$eller $4{\int }_0^{9}35-k{x}^{2}dx$och när man gör så här kan man inte "flytta ut" konstanten k utanför integretionen, eftersom det endast är en del av integranden som är multiplicerad med k. Eller också skulle jag göra som jag skrev igår, just för att kunna bryta ut konstanten.

Smaragdalena skrev:

Nej, höjden av en mur måste vara hur högt den sträcker sig ovanför markytan - jag kan inte tänka mig en höjd som mäts längs markytan. Det hade varit bättre om de hade skrivit "på ena hållet" och "på andra hållet" i den här uppgiften. 

Bra poäng, det hade varit tydligare! Jag tänkte utifrån höjden på en tvådimensionell triangel eller rektangel. Men håller med om att det leder tankarna fel för ett objekt (mur) som i regel är tredimensionellt.

Laguna skrev:

Kurvlängd är fel här, de frågar ju efter en area.

Du ser ut att ha gjort allting rätt (jag lusläste dock inte alla steg). Man kan ju välja på flera sätt var origo är, så det finns flera formler som är rätt.

Det gällde inte vad de frågade efter, det var såklart arean, utan det gällde tolkningen av ”70 meter lång”. Uppenbarligen är det inte entydigt vad som avses med det.

Nja tomast80 hade det varit en rektangulär stensättning hade du inte haft problem med höjd eller bredd och hade inte blandat in omkretsen, eller hur? Och beräkningen av kurvlängd ingår inte på gymnasial nivå.

Tillbaka till den ursprungliga frågeställningen. Den grundläggande metoden du använder är korrekt. Det som de som kommer fram till att b=18 gör är att de inte multiplicerar in k utan behåller den utanför. Det gör att man får mycket snällare siffror att jobba med i integralen.

Om jag skall vara kritisk till det du gör så handlar det just om det. Du beräknar ett värde på k som du måste avrunda. Då inför du avrundningsfel. Behåll k som ett bråktal och multiplicera inte in detta i funktionen så får du enklare siffror att jobba med. Du slipper dessutom avrundningsfelen. Nu beräknar du 0,4321 * 81 till 35,0001 då det egentligen är  $\frac{35}{81}81=35$.

Om du låter k vara $-\frac{35}{81}$ så får du integralen ${\int }_0^{18}-\frac{35}{81}(x^2-18x) dx =-\frac{35}{81}{\int }_0^{18}{x}^2-18x dx$ vilket blir exakt 420 a.e.

AndersW skrev:

Nja tomast80 hade det varit en rektangulär stensättning hade du inte haft problem med höjd eller bredd och hade inte blandat in omkretsen, eller hur? Och beräkningen av kurvlängd ingår inte på gymnasial nivå.

Tillbaka till den ursprungliga frågeställningen. Den grundläggande metoden du använder är korrekt. Det som de som kommer fram till att b=18 gör är att de inte multiplicerar in k utan behåller den utanför. Det gör att man får mycket snällare siffror att jobba med i integralen.

Om jag skall vara kritisk till det du gör så handlar det just om det. Du beräknar ett värde på k som du måste avrunda. Då inför du avrundningsfel. Behåll k som ett bråktal och multiplicera inte in detta i funktionen så får du enklare siffror att jobba med. Du slipper dessutom avrundningsfelen. Nu beräknar du 0,4321 * 81 till 35,0001 då det egentligen är  $\frac{35}{81}81=35$.

Om du låter k vara $-\frac{35}{81}$ så får du integralen ${\int }_0^{18}-\frac{35}{81}(x^2-18x) dx =-\frac{35}{81}{\int }_0^{18}{x}^2-18x dx$ vilket blir exakt 420 a.e.

Vet inte om miniräknaren gjort fel. Men om jag gör som du säger. (x^2 - 18x) så blir det F(x) = 6x^3 - 9x^2

Det svaret gånger 35/-81 blir -58.33333333. 

Edit: Märkte att jag nog skrev detta lite fel. Det ska stå F(x) = x^3 / 3 - 9x^2
Vilket blir F(x) = 6^3 - 9*18^2
Men då blir det ändå 35/-81(-2700) vilket blir 1166.66666. Vet inte vad jag gjort för fel här. 

tomast80 skrev:

Laguna skrev:

Kurvlängd är fel här, de frågar ju efter en area.

Du ser ut att ha gjort allting rätt (jag lusläste dock inte alla steg). Man kan ju välja på flera sätt var origo är, så det finns flera formler som är rätt.

Det gällde inte vad de frågade efter, det var såklart arean, utan det gällde tolkningen av ”70 meter lång”. Uppenbarligen är det inte entydigt vad som avses med det.

Mäter du längden på en båt längs skrovet? Det som möjligen gör uppgiften oklar är att eleverna kanske inte vet vad en stensättning är. Byter man ut ordet stensättning mot t.ex. "promenadstig av stenar" blir din tolkning i stället den enda rimliga.

$\frac{{18}^3}{3}\ne 6^3$

Sedan kom jag på att det blir ju inte 420 a.e. Vi har ju måtten i m så det blir$420 m^2$

AndersW skrev:

$\frac{{18}^3}{3}\ne 6^3$

Sedan kom jag på att det blir ju inte 420 a.e. Vi har ju måtten i m så det blir$420 m^2$

Men det blir inte 420. 

funktionen är (x^2 - 18x)

Primitiva funktionen blir X^3/3 - 18x^2/2
Vilket blir 1/3x^3 - 9*1/2x^2

När man sätter in X, så får vi (6^3 - 9*9^2). Detta blir -513.

Sedan 35/-81 * -513 = 221.66667

Nej det blir $-\frac{35}{81}(\frac{{18}^3}{3}-9*{18}^2) =420$

Som jag försökte säga tidigare så är det skillnad på $(\frac{18}{3}{)}^3=6^3=216$ och $\frac{{18}^3}{3}=\frac{5832}{3}=1944$ Det senare är det rätta i detta fall.