Integraler och grafiska metoder

alexandrow skrev :

När vet man när det är bäst att använda rektangel, trapets eller över- och undersumma metoden?

I allmänhet är mittpunkts- eller trapetsmetoden att föredra framför metoden med höger-/vänsterrektanglar, eftersom de ger mindre fel vid en given storlek på delintervallen.

Men om funktionen är konvex (konkav) i hela intervallet så kommer trapetsmetoden att ge en onödigt stor underskattning (överskattning) av integralens värde.

Då är mittpunktsrektangel eller över/undersumma bättre.

Hej!

• Om integranden varierar väldigt mycket över integrationsområdet så är det bästa alternativet av de metoder som du listat Trapetsmetoden; ett exempel på en sådan integrand är $f(x) = \sin (100x)$ på intervallet $0 < x < \pi$.
• Om integranden varierar ganska litet över integrationsområdet så fungerar Rektangelmetoden bra (men Trapetsmetoden är snäppet bättre); ett exempel på en sådan integrand är $g(x) = \sin (0.01x)$ på intervallet $0 < x < \pi$.

Albiki

okej tack! Vas menas med att funktionen är konvex/konkav? 

alexandrow skrev :

okej tack! Vas menas med att funktionen är konvex/konkav? 

Konvex funktion $f\left(x\right)$:

• En korda mellan två valfria punkter på grafen till f(x) kommer alltid att ligga på eller över grafen.
• För andraderivatan av en konvex funktion gäller att $f\text{'}\text{'}\left(x\right)\ge 0$.
• Exempel på en konvex funktion är $f\left(x\right)=x^2$.

Konkav funktion $g\left(x\right)$:

• En korda mellan två valfria punkter på grafen till $g\left(x\right)$ kommer alltid att ligga på eller under grafen.
• För andraderivatan av en konkav funktion gäller att $g\text{'}\text{'}\left(x\right)\le 0$.
• Exempel på en konkav funktion är $g\left(x\right)=-x^2$.