Integraler och area

Om du ritar en kurva mellan de punkterna och försöker få arean mellan den och x-axeln att bli så stor som möjligt, hur blir det då?

Menar du på detta viset? Det är det jag kan komma på :( 

Du kan rita på fri hand. Att konstruera en kurva med ett uttryck kan vara besvärligt.

Kan du t.ex. låta kurvan gå uppåt längre innan den går ner? Då blir arean större.

Hm jaa det borde ju vara möjligt, men om parabeln skall gå genom båda punkterna, blir inte själva area området smalare då - eftersom y värdena blir högre? Och om jag skall rita kurvan på fri hand, hur vet jag då vilka exakta värden jag ska använda för att kunna bevisa intervallet? 

Vet inte varför jag helt och hållet inte förstår denna fråga haha.. 

Du säger parabel, men var står det att det ska vara en parabel?

Nej det är sant det du säger, det står ingenstans! Men om det skall vara en kurva, menar vi en tredje/fjärde grads funktion då? Helt lost 

Vilken som helst. Du kan rita den hur du vill.

Okej! Nu kanske jag börjar hänga med. Men om jag skissar den största möjliga kurvan och jämför denna med den "minsta möjliga - (kontra area)" funktionen och på så vis bevisar att intervallet stämmer för dessa villkor. Hur skall jag kunna bevisa detta? Eftersom jag inte har uttrycken för dessa kurvor - hur ska jag kunna bevisa att intervallet/svaret stämmer utan några tal/utryck och värden på y-/x-axeln att bekräfta med :( 

Man bevisar förstås inte genom att rita, men när du förstår hur det fungerar kan man börja resonera matematiskt.

Hur stor area kan du göra?

Arean får ju max vara 5, så inom den ramen. Om det var det du menade? 

Börja med att rita upp ett koordinatsystem med de båda punkterna. Använd dig sedan av att du vet derivatans största tillåtna värde. Om arean skall vara så stor som möjligt bör vi låta funktionen växa så mycket som är tillåtet, eller hur?

Jag antar att funktionen inte behöver vara deriverbar?

Nja, det står krav på derivatan, så då måste derivatan finnas.

Till eelinbjorling: Det du säger om arean är det som vi vill bevisa, att den är mindre än 5. Så försök göra den större än 5.

Hej igen! Nu har jag funderat hela dagen och fått till denna graf.. och denna får ju en area större än 5. Vilket inte ska vara möjligt, vad gör jag för fel? Derivatan? :(

Är derivatan verkligen $\le 2$ i din graf för alla värden på $x$?

Nej juste!! Jag får inte till någon graf som har derivatan < 0,5 för alla x.. förutom f(x)= - x +2.. :( Kan tänka mig att en tredjegradsfunktion med terrasspunkt över f(0)=2 och f(2)=0 kanske fungerar? Men inget jag klarat av att göra..

Utmärkt att leka med linjära funktioner.

Vad händer med integralens värde om t.ex. f(x) = x/2 +  2 i intervallet 0 $\leq$ x < 2 och att funktionen sedan störtdyker ner till punkten (2: 0)?

Kan integralen ha ett större värde än så?

Fundera sedan på hur du på ett liknande sätt kan få integralens värde att bli så litet som möjligt.

Åh tack!! Ja funktionen f(x)=x/2 + 2 ger den största tillåtna arean = 5. Tack! 

Så nej, integralen bör inte kunna ha ett större värde än så, då den i sådana fall inte håller sig inom det tillåtna intervallet. Använder jag mig t.ex. av f(x) = x + 2, får jag en större area; vilket inte är tillåtet - och då samtidigt fallerar även villkoret på derivatans värde. 

Bifogar en bild på det jag lyckats gjort; en linjär funktion som går genom de båda punkterna. Men den får ju arean =2? Vilket inte är i närheten av -1.. 

Frågan är om jag även kan använda mig av andragradsfunktionen till intervallet x$\le$2. För då är ju derivatan inom det godkända intervallet. Eller om detta inte är möjligt, då f´(x) ≤ 1/2 för alla värden på x? 

Hur skall jag kunna få en negativ area (-1)? Det skall ju inte vara möjligt.. Det kan ju inte vara integral värdet, då b=2 och a= 0 i integrationstecknet. 

eelinbjorling skrev:

Åh tack!! Ja funktionen f(x)=x/2 + 2 ger den största tillåtna arean = 5. Tack! 

Det stämmer.

Så nej, integralen bör inte kunna ha ett större värde än så, då den i sådana fall inte håller sig inom det tillåtna intervallet. Använder jag mig t.ex. av f(x) = x + 2, får jag en större area; vilket inte är tillåtet - och då samtidigt fallerar även villkoret på derivatans värde. 

Det stämmer att integralen inte kan ha ett större värde än så, men det beror på att villkoren i så fall inte är uppfyllda. Villkoren är att f(0) = 2, f(2) = 0 och f'(x) $\leq$ 1/2. Att integralens värde är $\leq$ 5 är inte ett villkor, utan istället det du ska visa att det gäller.

.Bifogar en bild på det jag lyckats gjort; en linjär funktion som går genom de båda punkterna. Men den får ju arean =2? Vilket inte är i närheten av -1.. 

Jag ser ingen bild.

Frågan är om jag även kan använda mig av andragradsfunktionen till intervallet x$\le$2. För då är ju derivatan inom det godkända intervallet. Eller om detta inte är möjligt, då f´(x) ≤ 1/2 för alla värden på x? 

Nej håll dig till linjära funktioner 

Hur skall jag kunna få en negativ area (-1)? Det skall ju inte vara möjligt.. Det kan ju inte vara integral värdet, då b=2 och a= 0 i integrationstecknet. 

Det stämmer att en area inte kan vara negativ. Däremot kan en integrals värde mycket väl vara negativt.

Kan du påminna dig någon situation där så är fallet? I så fall är det en bra ledtråd till hur grafen borde se ut för att integralens värde ska bli så litet som möjligt.

Glömde helt att bifoga med bilden.. ursäkta!! 

Tack så mycket, ska kika vidare på detta och fundera en runda till :)

Integralens värde är ju negativ om området ligger under x-axeln, men hur skall jag då beröra de båda punkterna som jag skall bevisa? :(

eelinbjorling skrev:

Bra. Ta bort parabeln y = g(x) och grafen till f(x).

Rita in en vertikal linje vid x = 2. Då ser du tydligt vad integralen representerar.

======

Tips: Även för att hitta integralens minsta möjliga värde kan du använda en vertikal linje.

Hej igen! Nu tror jag att poletten har trillat ned :D Tack så mycket för all hjälp!!! 

Vad bra.

Och välkommen till Pluggakuten!