Integraler Nationella prov fråga

Är inte 100% säker, men tror det är för att x + sin(x) = x => x-x+sin(x) = x-x => sin(x) = 0. Sen gränsen 0 och pi för x är då sin(x) = 0. 

sin(0) = 0,  sin(pi) = 0

Så långt har jag lyckats komma. Det enda som jag inte förstår är hur jag hittar x=a dvs hur hittar jag a? Jag har fått fram att arean mellan den övre funktionen x+sin(x) och den undre funktionen x=a är 2 . Mer än så kmr jag inte vidare 

Området mellan graferna ska delas i två lika stora delar av den vertikala linjen x = a, se bild.

Det betyder att A₁ = A₂.

Eftersom den totala arean är lika med 2 så innebär det att A₁ ska vara lika med 1.

Det ger ekvationen $\int_{0}^{a}\sin(x)\operatorname dx=1$

Vad betyder det att arean (det svart markerade) är 2ae 

Jag är inte riktigt säker på vad du menar.
Det är en area.
Vi har inga enheter på x- och y-axlarna.
Beräknar vi integralen mellan övre och undre funktion blir den 2, dvs 2 "areaenheter".

jag undrar vilken area det är som är "2 areaenheter". När vi beräknar integralen av den övre funktionen minus den undre, vad menar man då? Är det det svart markerade områdets area som jag beräknar

Yngve skrev:

Området mellan graferna ska delas i två lika stora delar av den vertikala linjen x = a, se bild.

Det betyder att A₁ = A₂.

Eftersom den totala arean är lika med 2 så innebär det att A₁ ska vara lika med 1.

Det ger ekvationen $\int_{0}^{a}\sin(x)\operatorname dx=1$

 

Jag förstår inte varför arean ska vara 1 dvs jag hänger inte med på ditt tankesätt 

Är du med på att A₁ + A₂ = 2 ae?

Ja det är jag med på, då måste A1 och A2 vara 1. Men hur hittar jag vad a är?

Är du med på att A₁ skall vara lika stor som A₂?

ja Men hur hittar jag vad a är?
 

Då skall integralen från 0 till a ha värdet 1.

Katarina149 skrev:

jag undrar vilken area det är som är "2 areaenheter". När vi beräknar integralen av den övre funktionen minus den undre, vad menar man då? Är det det svart markerade områdets area som jag beräknar

Ja.

Katarina149 skrev:

ja Men hur hittar jag vad a är?
 

Det skrev jag i svar #4:

Smaragdalena skrev:

Då skall integralen från 0 till a ha värdet 1.

Jag förstår inte riktigt vad du menar? Arean ska vara 1 dvs A1 är 1ae och A2 är 1ae men varför är y=a =1?

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

ja Men hur hittar jag vad a är?
 

Det skrev jag i svar #4:

Menar du att man ska ta den integralen av den övre funktionen minus den undre funktionen och arean ska bli 1. Vi ska integrera mellan a=0 och a som är okänt och som vi vill hitta 

Nej det gäller inte att y = a = 1.

a är x-koordinaten för den linje som delar arean A i två lika stora delar.

Dvs linjen x = a ska dela arean A i ze två lika stora delarna A₁ och A₂.

Som jag visade i bilden i svar #4

Varför gäller det att integralen mellan den övre -undre funktionen är 1?

Katarina149 skrev:

Menar du att man ska ta den integralen av den övre funktionen minus den undre funktionen och arean ska bli 1. Vi ska integrera mellan a=0 och a som är okänt och som vi vill hitta 

Ja. Titta på bilden i svar #4.

Där visar jag att linjen x = a delar området.

Katarina149 skrev:

Varför gäller det att integralen mellan den övre -undre funktionen är 1?

Vi ska välja a så att integralens värde blir 1 eftersom det är hälften av arean av hela området

Varför gäller det här uttrycket?

Läs texten som står ovanför den markeringen.

Uttrycket gäller eftersom vi vill att arean av området som begränsas av y = x, y = x+sin(x) och x = a ska vara hälften så stor som arean av hela området.

Ska min miniräknare vara inställd på radianer? För isåfall får jag att cos(0)=1 och då blir 

-cos(a)=0 

Ja det stämmer.

då får jag att arcos av  0 är ca 1.5707, dvs a är ca 1.5707. Finns det ett exakt svar?

Ja det finns ett exakt svar.

Vilka vinklar ger cosinusvärdet 0?

Jag vet att du kan detta utantill.

Om du ändå är osäker kan du använda en tabell över exakta värden, enhetscirkeln eller din räknare, men tänk då på att svaret ges i radianer.

Det är pi/2 eller 90 grader som ger värdet 0

men jag förmodar att man ska svara med att a=pi/2

Ja det stämmer.

Det ska vara pi/2, inte 90°.

Det är endast om vinkeln är angiven i radianer som deriveringsreglerna D(sin(x)) = cos(x) och D(cos(x)) = -sin(x) gäller.

Men förstod du lösningen nu?

Det här förstod jag inte ”Det är endast om vinkeln är angiven i radianer som deriveringsreglerna D(sin(x)) = cos(x) och D(cos(x)) = -sin(x) gäller.”

• Rita sin(x) i ett koordinatsystem där den horisontella axeln är graderad i radianer. Du ser då att grafens lutning vid x = 0 är 1, vilket är lika med cos(0), som sig bör.
• Rita sin(x) i ett koordinatsystem där den horisontella axeln är graderad i grader. Du ser då att grafens lutning vid x = 0 är ungefär 0,02 (egentligen pi/180), vilket inte är lika med cos(0).

Det betyder att derivatan av sin(x) inte är lika med cos(x), om x anges i grader. I själva verket är derivatan av sin(x) då lika med (pi/180)•cos(x).

Detta eftersom pi/180 är den inre derivatan. Vi har ju att vinkeln x grader är lika med (pi/180)•x radianer.