Integraler - när ska gränserna ändras?

Svar: Ja!

Om den övre gränsen är x=b och den nedre gränsen är x=b och man utför variabelbytet u=f(x), så blir den nya övre gränsen u=f(b) och den nya nedre gränsen u=f(a).

Hej!

När man skriver ner en integral så är det underförstått att gränserna avses med avseende på variabeln vi integrerar med avseende på.

Exempelvis så innebär

$\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{x=a}^{x=b}f\left(x\right)dx$.

Om du gör ett variabelbyte exempelvis $x=7t$, då blir dina gränser för $t$ lika med $a=7t \iff t=\frac{a}{7}$, och $t=\frac{b}{7}$. De nya gränserna blir därför 

$\displaystyle 7\cdot\int_{t=\frac{a}{7}}^{t=\frac{b}{7}}f\left(7t\right)dt$.

Jag hänger med, tack för båda svaren.

Liten kommentar: Det kan också hända att variabelbytet du väljer tillsammans med de gamla randvillkoren ger nya randvillkor men som är oförändrade, men för att veta om så är fallet behöver du ändå gå igenom samma procedur.

Om gränserna ändras här stämmer inte uppgiften eller har jag räknat fel?

ser nu att jag har ändrat tillbaka till variabeln x men gränserna kvarstår..

Svaret som jag får då bör bli

tapetklister skrev:

ser nu att jag har ändrat tillbaka till variabeln x men gränserna kvarstår..

Svaret som jag får då bör bli

Tänker mig att detta inte är en slump..

Kanske borde gjort en ny tråd för den, men du har i stort sett två alternativ.

Första är att ha kvar gränserna som 

$\displaystyle \int_{x=0}^{x=\frac{\pi}{2}}f\left(t\right)dt$ för $f\left(t\right)=\frac{1}{t}$ och sen byta tillbaka till $t=1+\sin{x}$.

Det andra är att du inte byter tillbaka till $t=1+\sin{x}$ och då beräknar du integralen med gränserna för $t$. 

Nu har du blandat och beräknat värdet av integralen med gränserna för $t$, men bytt tillbaka till $x$. Så du måste välja ett av sätten, antingen behåller du integralen uttryckt med $t$ och använder gränserna för $t$, eller så byter du tillbaka till $x$ och använder gränserna för $x$.

EDIT: Jag tycker att när man lär sig variabelsubstitution så är det en bra idé att försöka att alltid skriva dit, åtminstone för den undre gränsen, vilken variabel som gränserna avser.

Jag förstår dig. Håller med att det blev lite väl i tråden.

Tack så mycket.