Integraler, bestämma formel (relativt enkel uppgift)

Jag är osäker på din lösningsmetod men om vi bara ser på den triangel som bildas i det andra intervallet så är höjden på din triangel är inte 3-x, den är 5-x

Det framgår inte vad S(x) är, men jag antar att du menar S(t), där S(t) är den primitiva funktionen till f(t).

Då kan du ta fram funktionsuttrycken för f(t) (på formen y = kt + m) i de olika intervallen och sedan ta fram de primitiva funktionerna till dem.

joculator skrev:

Jag är osäker på din lösningsmetod men om vi bara ser på den triangel som bildas i det andra intervallet så är höjden på din triangel är inte 3-x, den är 5-x

Det verkar stämma om jag ersätter 3-x med 5-x, men varför ska höjden vara 5-x? 

Yngve skrev:

Det framgår inte vad S(x) är, men jag antar att du menar S(t), där S(t) är den primitiva funktionen till f(t).

Då kan du ta fram funktionsuttrycken för f(t) (på formen y = kt + m) i de olika intervallen och sedan ta fram de primitiva funktionerna till dem.

Funktionsuttrycken är okända i mitt fall så därför kan jag inte riktigt göra som du föreslår 

Du kan utifrån bilden se vilka funktionsuttrycket är.

$0\leq t<1$: Här gäller $y = 2t$.

$1\leq t<5$: Här gäller $y=-t+3$.

$5\leq t<6$: Här gäller $y=-2$.

Vad avser $S(x)$?

Yngve skrev:

Du kan utifrån bilden se vilka funktionsuttrycket är.

$0\leq t<1$: Här gäller $y = 2t$.

$1\leq t<5$: Här gäller $y=-t+3$.

$5\leq t<6$: Här gäller $y=-2$.

Vad avser $S(x)$?

Okej, det får jag också fram. Men hur anser du att jag ska göra i nästa steg? Kan ju räkna ut den primitiva funktionen på alla delintervall men kommer ju inte få fram konstanter då, eller?

Kan du skriva av ursprungsuppgiften ord för ord, alternativt lägga in en bild? För mig är det otydligt om S(x) skall vara något som har med arean mellan funktionen och x-axeln att göra, eller om det skall vara en primitiv funktion. Jag förstår inte heller varför det skall vara en funktion av x, när x-axeln är benämnd med t i det här fallet.

abcdefg skrev:

Yngve skrev:

[...]

Vad avser $S(x)$?

Okej, det får jag också fram. Men hur anser du att jag ska göra i nästa steg? Kan ju räkna ut den primitiva funktionen på alla delintervall men kommer ju inte få fram konstanter då, eller?

Det är omöjligt att säga hur du ska gå vidare i nästa steg eftersom vi varken vet hur frågan lyder eller vad S(x) avser. 

Smaragdalena skrev:

Kan du skriva av ursprungsuppgiften ord för ord, alternativt lägga in en bild? För mig är det otydligt om S(x) skall vara något som har med arean mellan funktionen och x-axeln att göra, eller om det skall vara en primitiv funktion. Jag förstår inte heller varför det skall vara en funktion av x, när x-axeln är benämnd med t i det här fallet.

Uppgiften i sin helhet: 

OK bra.

Då kan du använda mitt tidigare tips och sätta integrationskonstanterna i område 2 och 3 så att S(1) och S(5) får rätt värden.

Yngve skrev:

OK bra.

Då kan du använda mitt tidigare tips och sätta integrationskonstanterna i område 2 och 3 så att S(1) och S(5) får rätt värden.

Jag är tyvärr inte riktigt med nu

Är du med på att om vi har en funktion f(x) så kan denna funkitons samtliga primitiva funktioner beskrivas av funktionen F(x)+C där C är en konstant (som man för det mesta kan strunta i, eftersom den försvinner när man tar differensen av den primitiva funktionen för de båda integrationsgränserna?

Om funktionen i ett intervall är $f(t)=kt+m$ så är de primitiva funktionerna $S(t)=k\cdot\frac{t^2}{2}+mt+C$, är du med på det?

Integrationskonstanterna $C$ kan bestämmas om du vet vilket värde $S(t)$ ska ha i en specifik punkt, är du med på det?

Eftersom $S(x)$ är lika med integralens värde vid $t=x$ (i princip den ackumulerade arean under $f(t)$) så kan du ur grafen utläsa att $S(0)=0$, $S(1)=1$ och $S(5)=1$, är du med på det?

Yngve skrev:

Om funktionen i ett intervall är $f(t)=kt+m$ så är de primitiva funktionerna $S(t)=k\cdot\frac{t^2}{2}+mt+C$, är du med på det?

Integrationskonstanterna $C$ kan bestämmas om du vet vilket värde $S(t)$ ska ha i en specifik punkt, är du med på det?

Eftersom $S(x)$ är lika med integralens värde vid $t=x$ (i princip den ackumulerade arean under $f(t)$) så kan du ur grafen utläsa att $S(0)=0$, $S(1)=1$ och $S(5)=1$, är du med på det?

Det tror jag att jag är med på. Men då borde väl t.ex det sista intervallet $5\le x\le 6$ ge den primitiva funktionen -2x + 2 eftersom att arean är 2 (?) men svaret ska bli -2x + 11

0 $\le$ x $\le$ 1

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{x}2tdt$ = x²

- - -

1 < x $\le 5$

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{1}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_1^{x}f\left(t\right)dt$ = S(1) + ${\int }_1^x\left(3-t\right)dt$ = -x²/2 + 3x -3/2

- - - 

5 < x $\le$ 6

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{5}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_5^{x}f\left(t\right)dt$ = S(5) + ${\int }_5^x-2dt$ = -2x + 11

PATENTERAMERA skrev:

0 $\le$ x $\le$ 1

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{x}2tdt$ = x

- - -

1 < x $\le 5$

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{1}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_1^{x}f\left(t\right)dt$ = S(1) + ${\int }_1^x\left(3-t\right)dt$ = -x²/2 + 3x -3/2

- - - 

5 < x $\le$ 6

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{5}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_5^{x}f\left(t\right)dt$ = S(5) + ${\int }_5^x-2dt$ = -2x + 11

Tack, men fortfarande oklart var du får -3/2 ifrån i andra intervallet samt 11 i tredje intervallet.

Nej det gäller att S(5) = 1, vilket tillsammans med S(x) = -2x + C ger ekvationen 1 = -2*5 + C.

abcdefg skrev:

PATENTERAMERA skrev:

0 $\le$ x $\le$ 1

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{x}2tdt$ = x

- - -

1 < x $\le 5$

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{1}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_1^{x}f\left(t\right)dt$ = S(1) + ${\int }_1^x\left(3-t\right)dt$ = -x²/2 + 3x -3/2

- - - 

5 < x $\le$ 6

S(x) = ${\int }_0^{x}f\left(t\right)dt$ = ${\int }_0^{5}f\left(t\right)dt$ + ${\int }_5^{x}f\left(t\right)dt$ = S(5) + ${\int }_5^x-2dt$ = -2x + 11

Tack, men fortfarande oklart var du får -3/2 ifrån i andra intervallet samt 11 i tredje intervallet.

Inte oklart om du går igenom beräkningarna i detalj själv.

S(1) + ${\int }_1^x\left(3-t\right)dt$ = 1 + ${\left[3t-\frac{t^2}{2}\right]}_1^x$ = 1 + 3x - x²/2 - 3 + 1/2 = -x²/2 +3x -3/2

S(5) + ${\int }_5^x-2dt$ = 1 + ${\left[-2t\right]}_5^x$ = 1 - 2x + 10 = -2x + 11