integraler, beräkna arean mellan kurvor (Matematik/Matte 3/Integraler)

anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.

Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.

Det är väldigt sällan en bra idé.

Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.

Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).

Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.
Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.
Det är väldigt sällan en bra idé.
Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.
Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).

Vet inte hur jag ska tolka kurvorna, vad är x, vad är y?

anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.
Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.
Det är väldigt sällan en bra idé.
Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.
Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).
Vet inte hur jag ska tolka kurvorna, vad är x, vad är y?

Det behöver inte vara avancerat.

Rita ett koordinatsystem och rita ut linjen x = 2.

När du ska skissa graferna till f(x) och g(x) så kan du göra en supersimpel värdetabell för x-värdena x = 0, x = 1 och x = 2.

Dina respektive y-värden för grafen till f(x) blir då

f(0) = 5e^(-0,5*0) = 5e^0 = 5
f(1) = 5e^(-0,5*1) = 5e^-0,5 = (använd räknaren)
f(2) = 5e^(-0,5*2) = 5e^-1 = (använd räknaren)

Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.

Dina respektive y-värden för grafen till g(x) blir då

g(0) = 3e^(-0,5*0) = 3e^0 = 3
g(1) = 3e^(-0,5*1) = 3e^-0,5 = (använd räknaren)
g(2) = 3e^(-0,5*2) = 3e^-1 = (använd räknaren)

Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.

------

Nu borde du ha en bra bild av hur området ser ut.

Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.
Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.
Det är väldigt sällan en bra idé.
Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.
Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).
Vet inte hur jag ska tolka kurvorna, vad är x, vad är y?
Det behöver inte vara avancerat.
Rita ett koordinatsystem och rita ut linjen x = 2.
När du ska skissa graferna till f(x) och g(x) så kan du göra en supersimpel värdetabell för x-värdena x = 0, x = 1 och x = 2.
Dina respektive y-värden för grafen till f(x) blir då
f(0) = 5e^(-0,5*0) = 5e^0 = 5
f(1) = 5e^(-0,5*1) = 5e^-0,5 = (använd räknaren)
f(2) = 5e^(-0,5*2) = 5e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.

Dina respektive y-värden för grafen till g(x) blir då
g(0) = 3e^(-0,5*0) = 3e^0 = 3
g(1) = 3e^(-0,5*1) = 3e^-0,5 = (använd räknaren)
g(2) = 3e^(-0,5*2) = 3e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.
------
Nu borde du ha en bra bild av hur området ser ut.

Har gjort nu... inte det bästa kanske, men gav det ett försök ialf. Hur går jag vidare nu?

Bra! Nu när du har ritat så vet du vilken funktion som är överfunktion och vilken som är underfunktion. Det stod i uppgiften att du skall beräkna arean som begränsas av dessa båda kurvor samt y-axeln och linjen x = 2. Vilka är dina integrationsgränser?(Det syns på bilden.)

anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.
Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.
Det är väldigt sällan en bra idé.
Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.
Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).
Vet inte hur jag ska tolka kurvorna, vad är x, vad är y?
Det behöver inte vara avancerat.
Rita ett koordinatsystem och rita ut linjen x = 2.
När du ska skissa graferna till f(x) och g(x) så kan du göra en supersimpel värdetabell för x-värdena x = 0, x = 1 och x = 2.
Dina respektive y-värden för grafen till f(x) blir då
f(0) = 5e^(-0,5*0) = 5e^0 = 5
f(1) = 5e^(-0,5*1) = 5e^-0,5 = (använd räknaren)
f(2) = 5e^(-0,5*2) = 5e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.

Dina respektive y-värden för grafen till g(x) blir då
g(0) = 3e^(-0,5*0) = 3e^0 = 3
g(1) = 3e^(-0,5*1) = 3e^-0,5 = (använd räknaren)
g(2) = 3e^(-0,5*2) = 3e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.
------
Nu borde du ha en bra bild av hur området ser ut.
Har gjort nu... inte det bästa kanske, men gav det ett försök ialf. Hur går jag vidare nu?

Det är absolut en tillräckigt bra figur.

Området du ska areaberäkna är det blåmarkerade:

Det gör du genom att integrera den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen från vänstra ändpunkten till den högra ändpunkten.

Nästa steg är alltså att lista ut:

Vänster ändpunkt
Höger ändpunkt
"Övre" funktion
"Nedre" funktion

Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Uppgiften är:
Hur stor area har området som begränsas av kurvorna f(x)=5e^-0.5x och g(x)=3e^-0.5x samt y-axeln och linjen x=2
Vet ej hur jag ska lösa den, har iallafall börjat med att skriva den primitiva funktionen för båda kurvorna, dvs. -10e^-0.5x samt -6e^-0.5x. Vill också få veta skärningspunkterna för dessa kurvor, så ställde upp kurvorna mot varandra, dvs. 5e^-0.5x=3e^-0.5. Flyttade därefter över 3e-0.5x till andra sidan, så att det blir 5e^0.5x-3e^-0.5x=0, sen så vet jag inte längre hur jag ska göra elr om jag ens hittils har gjort rätt. Behöver få reda på integrationsgränserna för att kunna beräkna den med integraler.
Du har börjat räkna utan att veta vad du räknar ut eller varför.
Det är väldigt sällan en bra idé.
Börja istället med att rita en grov skiss över kurvorna så att du vet hur området du ska areaberäkna ser ut.
Då ser du också hur du ska hantera f(x) och g(x).
Vet inte hur jag ska tolka kurvorna, vad är x, vad är y?
Det behöver inte vara avancerat.
Rita ett koordinatsystem och rita ut linjen x = 2.
När du ska skissa graferna till f(x) och g(x) så kan du göra en supersimpel värdetabell för x-värdena x = 0, x = 1 och x = 2.
Dina respektive y-värden för grafen till f(x) blir då
f(0) = 5e^(-0,5*0) = 5e^0 = 5
f(1) = 5e^(-0,5*1) = 5e^-0,5 = (använd räknaren)
f(2) = 5e^(-0,5*2) = 5e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.

Dina respektive y-värden för grafen till g(x) blir då
g(0) = 3e^(-0,5*0) = 3e^0 = 3
g(1) = 3e^(-0,5*1) = 3e^-0,5 = (använd räknaren)
g(2) = 3e^(-0,5*2) = 3e^-1 = (använd räknaren)
Rita in dessa punkter och dra en mjukt böjd kurva genom dem.
------
Nu borde du ha en bra bild av hur området ser ut.
Har gjort nu... inte det bästa kanske, men gav det ett försök ialf. Hur går jag vidare nu?
Det är absolut en tillräckigt bra figur.
Området du ska areaberäkna är det blåmarkerade:
Det gör du genom att integrera den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen från vänstra ändpunkten till den högra ändpunkten.
Nästa steg är alltså att lista ut:
Vänster ändpunkt
Höger ändpunkt
"Övre" funktion
"Nedre" funktion

Vad menar du med vänster ändpunkt och höger ändpunkt? Och varför behöver jag ta fram det?

Smaragdalena skrev :
Bra! Nu när du har ritat så vet du vilken funktion som är överfunktion och vilken som är underfunktion. Det stod i uppgiften att du skall beräkna arean som begränsas av dessa båda kurvor samt y-axeln och linjen x = 2. Vilka är dina integrationsgränser?(Det syns på bilden.)

Integrationsgränserna är 2 och noll.

Utifrån den bilden är alltså 5e^-0.5x överfunktion. Vad mer behöver jag göra nu?

Ändpunkterna är integrationsgränserna.

Teckna integralen. Integrera. Klart.

Smaragdalena skrev :
Ändpunkterna är integrationsgränserna.
Teckna integralen. Integrera. Klart.

Skriver, -10e^-0.5x och sätter då in integrationsgränserna, vilket blir då -3,76. Därefter gör jag samma sak med -6e^-0.5x vilket jag då får det till -2.20, vilket tsm blir -5.96...?! Vilket inte alls är svaret i facit, i facit står det 2,53 som svar

Jag förstår inte vad det är du gör.

Börja med att skriva upp din integral, överfunktionen minus underfunktionen. Använd gärna formelskrivaren för att göra läsliga formler - det är rotenur-tecknet längst upp till höger i inskrivningsrutan. Fråga gärna här om du är osäker.

När du är säker på att integralen är rätt, kan du ta fram den primitiva funktionen. När du är säker på att den är riktig, kan du sätta in värdena från gränserna.

Smaragdalena skrev :
Jag förstår inte vad det är du gör.
Börja med att skriva upp din integral, överfunktionen minus underfunktionen. Använd gärna formelskrivaren för att göra läsliga formler - det är rotenur-tecknet längst upp till höger i inskrivningsrutan. Fråga gärna här om du är osäker.
När du är säker på att integralen är rätt, kan du ta fram den primitiva funktionen. När du är säker på att den är riktig, kan du sätta in värdena från gränserna.

Är typ helt säker på integrationsgränserna, samt primitiva funktionerna, men blir fel någonstans, och jag vet inte vart. Svaret blir 2,53 i facit, jag får något helt annat.

För tredje gången - ställ upp en korrekt integral innan du börjar integrera! Naturligtvis får du fel svar när du inte ha rätt integral.

Vilken är överfunktionen? Vilken är underfunktionen? Funktionen du skall integrera är differensen mellan dessa.

anonymousnina skrev :

Är typ helt säker på integrationsgränserna, samt primitiva funktionerna, men blir fel någonstans, och jag vet inte vart. Svaret blir 2,53 i facit, jag får något helt annat.

För att minska antaket beräkningar och därmed risken för slarvfel rekommenderar jag att skriva ihop det till en enda integral.

Övre funktionen är f(x). Undre funktionen är g(x).

Övre funktionen minus undre funktionen är därför f(x) - g(x) = 5e^(-0.5x) - 3e^(-0.5x) = 2e^(-0.5x).

Integrera detta uttryck från x = 0 till x = 2.

En primitiv funktion till 2e^(-0.5x) är -4e^(-0,5x).

Därför blir integralens värde lika med -4e^(-0,5*2) + 4e^(-0,5*0) = 4 - 4e^(-1) = 4*(1 - 1/e), vilket är ungefär lika med 2,53.

Yngve skrev :
anonymousnina skrev :
Är typ helt säker på integrationsgränserna, samt primitiva funktionerna, men blir fel någonstans, och jag vet inte vart. Svaret blir 2,53 i facit, jag får något helt annat.
För att minska antaket beräkningar och därmed risken för slarvfel rekommenderar jag att skriva ihop det till en enda integral.
Övre funktionen är f(x). Undre funktionen är g(x).
Övre funktionen minus undre funktionen är därför f(x) - g(x) = 5e^(-0.5x) - 3e^(-0.5x) = 2e^(-0.5x).
Integrera detta uttryck från x = 0 till x = 2.
En primitiv funktion till 2e^(-0.5x) är -4e^(-0,5x).
Därför blir integralens värde lika med -4e^(-0,5*2) + 4e^(-0,5*0) = 4 - 4e^(-1) = 4*(1 - 1/e), vilket är ungefär lika med 2,53.

Tusen tack Yngve💖

anonymousnina skrev :Tusen tack Yngve💖

Varsågod.

Vilken är den viktigaste lärdomen du tar med dig från detta?

Yngve skrev :
anonymousnina skrev :Tusen tack Yngve💖
Varsågod.
Vilken är den viktigaste lärdomen du tar med dig från detta?

Att se till att man både tagit fram rätt integrationsgränser samt primitiva funktioner!

anonymousnina skrev :
Yngve skrev :
anonymousnina skrev :Tusen tack Yngve💖
Varsågod.
Vilken är den viktigaste lärdomen du tar med dig från detta?
Att se till att man både tagit fram rätt integrationsgränser samt primitiva funktioner!

OK bra. Och detta hade inte varit möjligt utan att först förstå hur området ser ut.

Därför är det oerhört viktigt att allra först rita en figur, dvs i detta fall en grov skiss över området.