Integraler

Rita kurvorna y=cosx och y=cos2x för $0 \leq x \leq π$ . De skär varandra dels i en punkt P på y axeln, dels i en punkt Q.
Beräkna arean av det område som begränsas av kurbågarna PQ

Mitt svar:
Jag vet att P = 1
Men Q verkar inte gå att räkna ut....

$\cos (x) = \cos (2 x) \cos (2 x) - \cos (x) = 0 x_{1} = 0 + n \cdot π x_{2} = ?$
Vet ej hur jag ska få fram nästa lösning. Har testat lite med cosinus för dubbla vinkeln men det verkar ej hjälpa.

Vet hur jag ska lösa den men jag behöver den andra skärningspunkten för att kunna göra en integral.

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1$

Därför kan du skriva om ekvationen

$\cos(2x) - \cos(x) = 0$

till

$2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) = 0$

Om du gör variabelbytet $t = \cos(x)$ så får du andragradsekvationen

$2 t^2 - 1 - t = 0$

Stokastisk skrev :
$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x)) = 2\cos^2(x) - 1$
Därför kan du skriva om ekvationen
$\cos(2x) - \cos(x) = 0$
till
$2\cos^2(x) - 1 - \cos(x) = 0$
Om du gör variabelbytet $t = \cos(x)$ så får du andragradsekvationen
$2 t^2 - 1 - t = 0$

Det var ju inte världens lättaste ändå.
Tack.

Stokastisk skrev :

$\int_{0}^{\frac{2 π}{3}} (\cos (x) - \cos (2 x)) d x = {[\begin{matrix} \sin (x) - \frac{\sin (2 x)}{2} \end{matrix}]}_{0}^{\frac{2 π}{3}} = \sin (\frac{2 π}{3}) - \frac{\sin (\frac{4 π}{3})}{2} - (0) \approx 1, 3$

Svar: ca 1,3 a.e

Men arean under x-axeln blir ju negativt så man måste räkna 2 separata areor och sedan addera dem

Svara

Visa senaste svar