Integraler

Cirkelns ekvation för en cirkel med radien 1 är $x^2+y^2=1$, vilket betyder att integralen (lös ut $y=\sqrt{1-x^2}$)

$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ är arean av en kvartscirkel (med radien ett =$\frac\pi4$)

För mig betyder evalute beräkna, inte uppskatta. 

D4NIEL skrev:

Cirkelns ekvation för en cirkel med radien 1 är $x^2+y^2=1$, vilket betyder att integralen (lös ut $y=\sqrt{1-x^2}$)

$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ är arean av en kvartscirkel (med radien ett =$\frac\pi4$)

Varför får man fel om man räknar integralen av $\sqrt{1-x^2}$genom att användas dess primitiva funktion?

Analys skrev:

För mig betyder evalute beräkna, inte uppskatta. 

Ok, jag har gjort det. Jag räknade integralen genom att skriva primitiva funktionen till x^2 och $\sqrt{1-x^2}$

I am Me skrev:

D4NIEL skrev:

Cirkelns ekvation för en cirkel med radien 1 är $x^2+y^2=1$, vilket betyder att integralen (lös ut $y=\sqrt{1-x^2}$)

$\displaystyle \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,dx$ är arean av en kvartscirkel (med radien ett =$\frac\pi4$)

Varför får man fel om man räknar integralen av $\sqrt{1-x^2}$genom att användas dess primitiva funktion?

Det går naturligtvis att använda den primitiva funktionen, men du har beräknat fel primitiv funktion, testa att använda derivatan av en produkt på din föreslagna funktion så ser du att det blir fel.

Integralen är inte helt trivial att beräkna och kräver att du göra en substitution.

I am Me skrev:

Analys skrev:

För mig betyder evalute beräkna, inte uppskatta. 

Ok, jag har gjort det. Jag räknade integralen genom att skriva primitiva funktionen till x^2 och $\sqrt{1-x^2}$

Låter bra. Att integrera x2 är ju enkelt, D4NIELS förslag på den andra delen är ju enkelt och bra, självklart funkar det med primitiv funktion också. Men lite trixigt i detta fall.

Analys skrev:

I am Me skrev:

Visa föregående citat

Analys skrev:

För mig betyder evalute beräkna, inte uppskatta. 

Ok, jag har gjort det. Jag räknade integralen genom att skriva primitiva funktionen till x^2 och $\sqrt{1-x^2}$

Låter bra. Att integrera x2 är ju enkelt, D4NIELS förslag på den andra delen är ju enkelt och bra, självklart funkar det med primitiv funktion också. Men lite trixigt i detta fall.

Ja men jag får fel svar när jag räknar primitiva funktionen.

Din primitiva funktion stämmer inte.

Du bör alltid alltid kontrollera din primitiva funktion genom att derivera den.

Om du då får tillbaka ursprungsfunktionen var den rätt, annars inte.

Yngve skrev:

Din primitiva funktion stämmer inte.

Du bör alltid alltid kontrollera din primitiva funktion genom att derivera den.

Om du då får tillbaka ursprungsfunktionen var den rätt, annars inte.

Kan bara instämma i Yngve. Att ta fram primitiva funktioner är (mkt) svårare än att derivera så bra tips att alltid testa att derivera den primitiva funktionen.

Om du vill ta fram en primitiv funktion till $\sqrt{1-x^2}$ så kan du pröva att substituera $x$ mot $\sin(t)$.

Du får då $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-\sin^2(t)}=\sqrt{\cos^2(t)}$ och $dx=\cos(t)dt$.

Förenkla och fortsätt sedan med trigonometriska omskrivningar (tips: Dubbla vinkeln cosinus).