Integraler
Hej! Jag håller på att beräkna tröhetsmoment för en halvklot (z> och lika med 0)
och jag ser att i svaret de gör sådär 
och jag undrar varför de lägger till 2/3 i samband med z^2?
Den symmetri som man syftar på är att integralen av x2, integralen av y2 och integralen av z2 har samma värde i det här området. Området som helhet är inte symmetriskt på alla ledder, men det räcker att betrakta t.ex. första oktanten (alla x, y, z >= 0) för att de andra oktanterna bidrar med precis lika mycket.
Det betyder att integralen av x2+y2 = integralen av 2x2 = 2/3 integralen av 3x2 = 2/3 integralen av x2+y2+z2.
Att man föredrar det krångligare x2+y2+z2 är för att det blir enklare senare när man inför sfäriska koordinater.
Jag förstår inte riktigt dehär beräkningen
”Det betyder att integralen av x2+y2 = integralen av 2x2 = 2/3 integralen av 3x2 = 2/3 integralen av x2+y2+z2.”
skulle du kunna förklara lite tydligare varför man kan göra sådär? Och var siffrorna kommer ifrån?
Är du med på att integralen av x2 över ett åttondelsklot (första oktanten) är samma som integralen av y2?
Nej förstår inte riktigt.
Ett enklare exempel: vi vill integrera x dydx i området 0 < x < 1, 0 < y < 1.
Ser du att det blir samma resultat om vi integrerar y dydx i stället?
