Integraler
Kurvan y=sin x+cos x begränsar tillsammans med positiva x-axeln och positiva y-axeln ett område. Då området får rotera runt x-axeln bildas en rotationskropp.
Visa att ett exakt värde på rotationskroppens volym är pi*(3*pi+2) /4
Svar: Vi ska beräkna arean pi y^2 *dy
och vi måste beräkna nollställen på x-axeln, den första är noll och vi får den andra nollställen genom att sätta y=0
sin x +cos x=0
sinx= -cos x
sin x/-cos x= 1
-tanx = 1
x= ark tan(1) = pi/4
Ni vet vi övre och nedre integrationsgränser, nu ska vi beräkna integralen
y^2= (sinx +cos x)^2= sinx^2 +2sinx*cosx+ cosx^2
y^2= sin2x+1
primtiva funktionen blir då -cos2x/2 +x
Nu ska vi beräkna integralen
pi[-cos2x/2 +x] från noll till pi/4
pi[0+ pi/4-0]
hur kan jag bevisa volymen som finns i frågan, jag har fått en annan volym!
Kan ni hjälpa mig, vilka fel som jag har gjort under beräkningen.
Har du ritat upp kurvan som du skall rotera? Gör det! Då ser du att du har fått fel värde på den övre integrationsgränsen.
jag har inte grafritande räknare tyvärr, har du ritat den?
Du behöver inte någon räknare för att rita den. Beräkna funktionsvärdena för x = 0, x = pi/2, x = pi till att börja med, troligen behöver du några till för att se hur det ser ut, pi/4 och 3pi/4 verkar bra. Sinus och cosinus för dessa värden behöver du ingen räknare för att ta fram.
rama123 skrev :och vi måste beräkna nollställen på x-axeln, den första är noll och vi får den andra nollställen genom att sätta y=0
sin x +cos x=0
sinx= -cos x
Den här ekvationen löser du enkelt med hjälp av enhetscirkeln.
För vilka värden på x gäller det att sinus- och cosinusvärdena är lika stora men med motsatta tecken?
Om du använder enhetscirkeln hamnar du automatiskt i rätt kvadrant.
Jag har beräknat det och övergränsen blir då, 3pi/4
Du har fått fram värdet. Förläng första termen i parentesen med . Jag vet nte vad du sysslat med på nästa rad.
Men vad är egentligen cos (6pi/4)?
Du tappar bort termen när du sätter in integrationsgränsen x=0
