integraler 3321

Du har räknat ut volymen av kroppen mellan y-axeln och kurvan när den roteras runt y-axeln. Du skulle räkna ut volymen av kroppen mellan x-axeln och kurvan när den roteras runt y-axeln.

förstår inte riktigt, hur förstod du att frågan menade att det skulle vara så? 

Börja med att rita upp hur kroppen ser ut - det är väldigt svårt att räkna ut volymen för rätt kropp om man inte gör det. Bilden behöver inte vara snygg. 

Eli123be skrev:

förstår inte riktigt, hur förstod du att frågan menade att det skulle vara så? 

Det står att området begränsas av positiva x-axeln.

så här såg det ungefär ut

Snygg skiss! Den ser bra ut.

När detta område roterar runt y-axeln så bildas en rotationskropp med ett hål i mitten.

Volymen av den rotationskroppen kan beräknas på lite olika sätt.

Till att börja med, vill du använda skivmetoden eller skalmetoden?

Yngve skrev:

Snygg skiss! Den ser bra ut.

När detta område roterar runt y-axeln så bildas en rotationskropp med ett hål i mitten.

Volymen av den rotationskroppen kan beräknas på lite olika sätt.

Till att börja med, vill du använda skivmetoden eller skalmetoden?

Tack :) Vad är det för skillnad mellan dem?  har glömt lite

Skalmetoden: Du delar upp rotationskroppen i tunna cylindriska skal runt rotationsaxeln. Varje skal har radie $r$, tjocklek $dr$, omkrets $2\pi r$ och en höjd $h$, som beror av $r$. Integrera i radiell riktning ($x$-riktning).

Skivmetoden: Du delar upp rotationskroppen i tunna cirkelformade skivor med centrum vid rotationsaxeln. Varje skiva har radie $r$, area $\pi r^2$ och tjocklek $dy$. Integrera i axiell riktning ($y$-riktning).

Yngve skrev:

...

Skivmetoden: Du delar upp rotationskroppen i tunna cirkelformade skivor med centrum vid rotationsaxeln. Varje skiva har radie $r$, area $\pi r^2$ och tjocklek $dy$. Integrera i axiell riktning ($y$-riktning).

Om du ska använda skivmetoden måste du ta hänsyn till att skivorna har ett hål med radie 1 i mitten.

hur gör man om man använder skivmetoden och har ett hål i mitten som i mitt fall, tror jag använde mig av skivmetoden ovan men glömde hålet

Du kan antingen först beräkna volymen utan hål och sedan subtrahera volymen av den cylinder som ska bort eller beräkna skivornas area som $\pi\cdot (r_{yttre})^2-\pi\cdot (r_{inre})^2$.

Yngve skrev:

Du kan antingen först beräkna volymen utan hål och sedan subtrahera volymen av den cylinder som ska bort eller beräkna skivornas area som $\pi\cdot (r_{yttre})^2-\pi\cdot (r_{inre})^2$.

hur tänker man då ? förstår inte riktigt, vad har jag beräknat i lösningen ovanför , och vad ska jag ta bort?

En cirkelskiva med radie $r_{yttre}$ har arean $\pi\cdot {r_{yttre}}^2$.

Om denna cirkelskiva har ett hål i mitten med radie $r_{inre}$ så är hålets area $\pi\cdot {r_{inre}}^2$.

Arean av cirkelskivan då hålet är borträknat blir då $\pi\cdot {r_{yttre}}^2-\pi\cdot {r_{inre}}^2=$

$=\pi ({r_{yttre}}^2-{r_{inre}}^2)$

Om cirkelskivan har tjockleken $dy$ så har skivan volymen $\pi({r_{yttre}}^2-{r_{inre}}^2) dy$

hur vet man radien på hålet, radien på cirkelskivan är väl 0,5 till 1

är det här skalmetoden? och var är hålet man letar efter?

Rotationskroppen ser ut ungefär så här.

Det är alltså en "cylinder" som står på x-axeln och vars symmetriaxel sammanfaller med y-axeln.

Cylindern har en plan botter men en "välvd" topp.

Cylinderns ytterradie är 2 och i mitten finns ett hål med radien 1.

Om du vill använda skivmetoden så måste du dela in rotationskroppen i två delar.

Skalmetoden är enklare i det här fallet.

men vad händer med 0,5, den går ju inte ner till 0`?

Vad menar du med 0,5 som inte "går ner till 0"?

gränserna på y axeln är ju 0,5 och 1? och enligt skivmetoden borde man ju använda y axlarna

Till att börja med, förstår du hur rotationskroppen ser ut, dvs förstår du min skiss av "cylindern"?

förstår skalmetoden nu men fortfarande inte skivmetoden 

Jag har markerat skivorna med rött i bilden.

Skivorna ovanför den blå linjen har varierande yttre radie men konstant inre radie.

Skivorna under den blå linjen har konstant både yttre och inre radie.

Har gjort så här med skivmetoden, men något går snett och förstår inte riktigt vad

Jag förstår inte riktigt vad det är du gör.

Om du använder skivmetoden så måste du dela upp volymberäkningen i flera delar eftersom det inte går att beskriva alla skivors area med ett enda funktionsuttryck.

• Kan du med hjälp av en bild och med ord beskriva hur en skiva som ligger på höjden y = 0,25 ser ut?
• Kan du med hjälp av en bild och med ord beskriva hur en skiva som ligger på höjden y = 0,75 ser ut?