Integraler

Du kan mycket väl beräkna en graf där varken över- eller underkurvan är x-axeln. En integral kan ses som arean av ett omräde. Detta område måste ha väldefinierade gränser för att man skall kunna beräkna arean.

Var detta svar på din fråga, eller har jag missuppfattat vad det är du menar?

Nej men det är jag som har nog dåligt formulerat frågan kanske är det tydligare såhär. Varför måste inte integralen ha ett begränsat område när jag beräknar den? t ex sin x med integrations gränserna pi och 2pi då skriver man bara in integralen och beräknar den som blir negativ 

Det är alltid en bra idé att rita upp funktionen först.

Om du vill beräkna integralen av funktionen sin(x) mellan pi och 2 pi så blir den negativ. Om du vill beräkna arean för området mellan x-axeln och funktionen sin(x) mellan pi och 2pi så skall du beräkna integralen för (0-sin(x)) för att arean skall bli positiv. Negativa areor existerar inte.

Fast hur visar man då att integralen begränsas vid x-axeln när man endast beräknar integralen eller är det redan givet från början? 

Man bör alltid börja med att rita upp grafen för funktionen man skall integrera.

Ja, man kan se det som att x-axeln redan är med i beräkningen även om den inte står utskriven, för kolla:

Om vi ska beräkna området mellan en övre funktion f(x) och en undre funktion g(x) i ett intervall så skriver vi ju

${\int }_a^{b}f\left(x\right)-g\left(x\right)dx$

Men om den undre funktionen är x-axeln så är den ju bara g(x) = 0, så då blir integralen

${\int }_a^{b}f\left(x\right)-g\left(x\right)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)-0dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Vi behöver alltså inte beskriva x-axeln med en funktion och skriva in den som vår undre funktion, för den bidrar bara med en nolla som ju inte gör någon skillnad.

Om vi fortsätter låta g(x) vara x-axeln men nu beräknar arean i ett intervall där vår funktion f(x) ligger under x-axeln så ges alltså arean av

${\int }_a^{b}g\left(x\right)-f\left(x\right)dx={\int }_a^{b}0-f\left(x\right)dx=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx$

Här bidrar g(x) fortfarande bara med en nolla så vi behöver inte ha med den, men vi får ett minustecken framför f(x) vilket gör att svaret blir positivt.

I båda fallen kan man alltså se det som att x-axeln finns med som gräns i teorin men att den faller bort i praktiken eftersom den funktionen bara är noll.

Fast hur är det om funktionen är under x-axeln och man ska beräkna integralen för den blir ju negativ?

Fotbollskillen12 skrev:

Fast hur är det om funktionen är under x-axeln och man ska beräkna integralen för den blir ju negativ?

En integral kan mycket väl ha ett negativt värde, det är inget fel med det.

Till exempel är ${\int }_0^1(2x-2)dx=1-2=-1$

================

Om du däremot vill använda integraler för att areabestämma områden så måste du integrera den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen från den vänstra gränsen till den högra gränsen.

Om du till exempel vill beräkna arean av området som begränsas av linjen $x=0$, linjen $x=1$, grafen till funktionen $f(x)=x$ och grafen till funktionen $g(x)=2$ så måste du först bestämma vilken av funktionerna $f(x)$ och $g(x)$ som är den "övre" respektive den "undre" funktionen" i intervallet.

I detta fallet är det enkelt, $g(x)$ är den övre funktionen eftersom $g(x)+\geq f(x)$ i hela intervallet.

Du kan då beräkna arean på följande sätt:

$A={\int }_0^1\left(g\right(x)-f(x)dx={\int }_0^1(2-x)dx$

==========

Om du vill beräkna arean av området som begränsas av linjen $x=0$, linjen $x=1$, $x$-axeln (dvs grafen till funktionen $f(x)=0$) och grafen till funktionen $g(x)=x$ så måste du först bestämma vilken av funktionerna $f(x)$ och $g(x)$ som är den "övre" respektive den "undre" funktionen" i intervallet.

I detta fallet är det enkelt, $g(x)$ är den övre funktionen eftersom $g(x)\geq f(x)$ i hela intervallet. Du kan då beräkna arean på följande sätt:

$A={\int }_0^1\left(g\right(x)-f(x)dx={\int }_0^1(x-0)dx={\int }_0^{1}xdx$

==========

Om du vill beräkna arean av området som begränsas av linjen $x=0$, linjen $x=1$, $x$-axeln (dvs grafen till funktionen $f(x)=0$) och grafen till funktionen $g(x)=-x$ så måste du först bestämma vilken av funktionerna $f(x)$ och $g(x)$ som är den "övre" respektive den "undre" funktionen" i intervallet.

I detta fallet är det enkelt, $f(x)$ är den övre funktionen eftersom $f(x)\geq g(x)$ i hela intervallet. Du kan då beräkna arean på följande sätt: 

$A={\int }_0^1\left(f\right(x)-g(x)dx={\int }_0^1(0-(-x))dx={\int }_0^{1}xdx$

Var det svar på din fråga?

Jag förstår att integralen kan vara negativ fast måste man inte också då ange x-axeln för att visa vart den begränsas istället för att bara skriva funktionen, förstår du min fråga bättre?

Jag tror att jag förstår din fråga bättre.

Men jag förstår inte riktigt varför du skulle behöva ange x-axeln. Den gränsen är underförstådd.

Kan du ge ett exempel på en uppgift där du undrar om du behöver ange att x-axeln begränsar integralen?

Fast när du beräknar arean så anger man gränserna fast efter x-axeln är noll så försvinner den dms med integralen som du visade när den är över x-axeln fast varför är det inte samma sak när kurvan är under x-axeln. 

Menar du de två sista exemplen i det här svaret?

Där finns x-axeln med i båda fallen eftersom den utgörs av grafen till funktionen f(x) = 0.

I ena fallet blir integranden g(x) - 0 och i andra fallet blir integranden 0 - g(x). Nollan, dvs x-axeln, finns med i båda fallen.

Jo jag förstår det fast det jag inte fattar är varför vid beräkningar av integraler kan den vara negativ ifall den befinner sig under x-axeln för borde man inte beräkna den på samma sätt genom att ta 0-f(x). Ifall man inte behöver göra det varför inte i såna fall för att man borde ju göra det för att visa den övre funktionen

Der är för att om du då integrerar 0-f(x) istället för f(x) så blir inte integralens värde negativt.

=======

Vi prövar med ett konkret exempel.

En bil kör med hastigheten 20 m/s.

Vid t = 0 sekunder börjar bilen att bromsa.

Accelerationen är konstant a = -4 m/s^2.

Fråga: Hur mycket har hastigheten ändrats efter 3 sekunder?

Du kan beräkna hastighetsändringen som integralen av den konstanta funktionen a(t) = -4 från t = 0 till t = 3.

Integralens värde blir -12 och svaret är att hastigheten har ändrats med -12 m/s.

======

I det här fallet ligger grafen till funktionen vi integrerar under t-axeln i hela intervallet. Om vi istället skulle integrera 0-a(t) som du föreslår så skulle integralens värde bli +12 och vi skulle då komma fram till att bilens hastighet hade ökat med 12 m/s.

Jo jag förstår det men varför är det så att när man ba ska bestämma integralen att man inte behöver ta 0-f(x) för att visa att x-axeln begränsar kurvan 

OK vi säger så här då.

Om du ska beräkna integralen av f(x) från a till b så ska du alltid integrera f(x)-0 från a till b.

==========

Om du däremot ska beräkna arean av det område som begränsas av grafen till f(x), x-axeln och linjerna x = a och x = b så måste du kontrollera ett par saker innan du sätter igång:

Har f(x) några nollställen i intervallet? I så fall kan det vara så att f(x) > 0 i vissa delar av intervallet och att f(x) < 0 i andra delar av intervallet. Du måste då dela upp intervallet och även integralen i flera delar så att f(x) inte byter tecken i ett delintervall.

För varje (del-)intervall:

• Om f(x) < 0 så ska du integrera 0-f(x).
• Om f(x) > 0 så ska du integrera f(x)-0. 

Blev det klarare då?

Ett annat sätt att se integrering på, istället för som en area under grafen. Tänk dig att när du integrerar summerar du rektanglar från x-axeln till kurvan. Rektangelns höjd är kurvans värde i en punkt och rektangelns bas är en sträcka dx efter x-axeln. Sträckan dx blir mindre och mindre vilket gör rektangeln följer kurvan bättre och bättre så integralen blir exakt.

Det finns ofta olika liknelser för att förstå samma sak. En liknelse kan stämma bra i vissa sammanhang men inte alls i andra. Exempelvis liknelsen en integral är en area. Fungerar jättebra i många integralsammanhang men en integral kan vara negativ vilket en area inte kan. Då kan man inte likna integralen vid en area. Men du kan göra som Smaragdalena gjorde skriva x-axeln - grafen, då har du definierat en positiv integral. Det kan du säga är arean mellan grafen och x-axeln.

Fast varför kan en integral vara negativ ifall den är definierad som summa av flera rektanglars area?

Yngve skrev:

OK vi säger så här då.

Om du ska beräkna integralen av f(x) från a till b så ska du alltid integrera f(x)-0 från a till b.

==========

Om du däremot ska beräkna arean av det område som begränsas av grafen till f(x), x-axeln och linjerna x = a och x = b så måste du kontrollera ett par saker innan du sätter igång:

Har f(x) några nollställen i intervallet? I så fall kan det vara så att f(x) > 0 i vissa delar av intervallet och att f(x) < 0 i andra delar av intervallet. Du måste då dela upp intervallet och även integralen i flera delar så att f(x) inte byter tecken i ett delintervall.

För varje (del-)intervall:

• Om f(x) < 0 så ska du integrera 0-f(x).
• Om f(x) > 0 så ska du integrera f(x)-0. 

Blev det klarare då?

Detta var mycket tydligare tack så mycket min sista fråga är då bara varför är det att alltid vid beräkning av integralen ska det vara f(x)-0 även ifall kurvan är under x-axeln för x-axeln är ju den övre funktionen

Det kan den inte, eftersom areor inte kan vara negativa. Däremot kan integralen vara lika med arean fast med omvänt tecken ("lika med minus arean").

Det är bara om du ska använda integralen för att bestämma ett områdes area som du ska använda övre funktion minus undre funktion.

Om du bara ska beräkna integralen så behöver du inte bekymra dig om var grafen befinner sig i förhållande till x-axeln.