Integraler

Hej

kan någon hjälpa mig att lösa följande integraler:

a) $\int_{0}^{1} e^{x} \ln (1 + e^{x}) d x$

b) $\int_{0}^{π / 4} \frac{x}{\cos^{2} x} d x$

Ska man börja a-uppgiften med att sätta ${|e^{x} \ln (1 + e^{x})|}^{1}_{0} - \int_{0}^{1} e^{x} \frac{e^{x}}{e^{x} +}$

Vilket om vi sätter in värdena 1 och 0 ger $e \ln (1 + e) - \ln (2) - \frac{e^{2}}{1 + e} - \frac{1}{2}$

Det gäller alltså att

$\int_{0}^{1} e^{x} \ln (1 + e^{x}) d x = {e^{x} \ln (1 + e^{x})}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Du kan inte bara sätta in gränserna i den sista integralen, utan du måste beräkna denna integral på precis samma sätt du beräknar andra integraler. Så du måste beräkna integralen

$\int_{0}^{1} e^{x} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Däremot så skulle jag rekommendera att använda $e^{x} + 1$ som primitiv till $e^{x}$ .

okej, löser jag ut första termen så får vi ${|e^{x} \ln (1 + e^{x})|}^{1}_{0} \Rightarrow e \ln (1 + e) - \ln (2)$ , eller om vi använder primitiven e^x+1får vi $(e + 1) \ln (1 + e) - \ln (2)$

Det stämmer även överrens med facit för första delen av integralen, problemet jag har är hur man ska utföra nästa steg i beräkningen, ska jag bara göra samma sak fast med $e^{x} \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ och då få ${|(e + 1) * \frac{(e + 1)}{e + 2}|}^{1}_{0}$

Du ska väl göra samma sak ungefär, men det beror lite på vad man menar med samma sak. Om du menar att du bara slänger in gränserna så gör du inte samma sak, utan du måste finna en primitiv funktion till integranden och sedan sätter du in gränserna.

Om vi istället använder att e^x + 1 som primitiv till e^x, så får man följande

$\int_{0}^{1} e^{x} \ln (1 + e^{x}) d x = {(e^{x} + 1) \ln (1 + e^{x})}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (e^{x} + 1) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x = (e + 1) \ln (1 + e) - 2 \ln (2) - \int_{0}^{1} e^{x} d x$

Nu behöver man alltså beräkna den sista integralen också. Det gäller att

$\int_{0}^{1} e^{x} d x = {e^{x}}_{0}^{1} = e - 1$

Detta innebär att hela integralen blir

$(e + 1) \ln (1 + e) - 2 \ln (2) - e + 1$

okej så vi har då primitiven till e som (e^x-1) det är jag med på, men jag är inte med på hur vi får fram resten, jag förstår inte hur vi får fram 2ln(2) eller $\int_{0}^{1} e^{x} d x$

2ln(2) kommer från att

${(e^{x} + 1) \ln (1 + e^{x})}_{0}^{1} = (e^{1} + 1) \ln (1 + e^{1}) - (e^{0} + 1) \ln (1 + e^{0}) = (e + 1) \ln (1 + e) - (1 + 1) \ln (1 + 1) = (e + 1) \ln (1 + e) - 2 \ln (2)$

Sedan så har man ju efter partialintegrationen att man får integralen

$\int_{0}^{1} (e^{x} + 1) \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Tar man och förenklar denna integrand så får man $\int_{0}^{1} e^{x} d x$ .

Svara

Visa senaste svar