Integraler

Nej. Integralen gäller för alla termer. Precis som vanligt. Du gjorde rätt när du utvecklade. 

Så om du ska integrera $sin(x)$, då får du $-cos(x)$ eller hur? Fundera på vad integralen av $sin(2x)$ blir.

primitiva av sin(2x) bör bli -1/2cos(2x)

men som sagt i facit blir det sin^2x

update: ritade upp dessa två i desmos och de är inte lika, så något är fel

Har du råkat titta på fel uppgift i facit? I så fall är du inte den förste (eller den siste).

Ska försöka skriva av facit:

f´(x) = 2 sinx cosx + 5cosx

f(x) = (sinx)^2 + 5sinx + C

erik skrev:

primitiva av sin(2x) bör bli -1/2cos(2x)

men som sagt i facit blir det sin^2x

update: ritade upp dessa två i desmos och de är inte lika, så något är fel

Jodå, formen är lika. De har olika placering i höjdled, men derivatan beskriver bara kurvornas lutning - och dessa kurvor lutar exakt lika mycket i varje punkt. Så integralen kan beräknas med båda dessa primitiva. Om du sänker ner sinuskurvan 0.5 steg ser du att de överlappar.

Okej då är jag med, men hur kommer man fram till det. Krävs för att lättare lösa uppgiften (som ska vara utan räknare)

Den kompletta primitiva funktionen är

till 2sin(x)cos(x) är sin^2(x) +C

och till sin(2x) -0,5cos(2x) + D

konstanterna C och D blir  olika om du har ett fixt värde i ngn punkt, men när du räknar ut integralen har ju konstanterna ingen betydelse. 

fattar inte hur du kommer fram till den första

Poängen är att du inte behöver hitta facits sin²(x), du kan lika gärna använda -cos(2x)/2. Och den kom du väl fram till utan räknare?

absolut, är bara nyfiken hur ni kommer fram till sin^2x

Aha. Ett sätt är att använda ett skarpt matteöga: I 2*sinx*cosx så kan man känna igen cosx som derivatan av sinx. Då kanske allt är en funktion av sinx, så att cosx är den inre derivatan som plockats ut? Och visst, då kan 2:an komma från en nerplockad exponent:  $\sin^2(x)$. Gör en provderivering - checks out!

Men ja, det är nog inte lätt att se förrän man redan sett det en bunt gånger.

I Ma5 ingår det partiell integration (åtminstone i vissa böcker). Jag tror den metoden skulle ge svaret från ditt facit.

Det skarpa matteögat kan man använda direkt på uppgiften också, du ska integrera f(sin(x)) = 2sin(x) + 5 multiplicerat med derivatan av sin(x). Dvs f(t) = 2t+5 med primitiv F(t) = t^2 + 5t + C och alltså har den ursprungliga integranden en primitiv F(sin(x)) = sin^2(x) + 5sin(x) + C. Den här metoden kan formuleras mer generellt som variabelsubstitution men det kanske inte ingår i Matte4?