Integraler

Använd dig av att $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$!

Hej!

I den bifogade figuren ser man att den sökta arean är lika med integralen

    $\displaystyle\int_{0}^{a}\cos x - \cos 2x\,dx$

där den övre integrationsgränsen $0<><>$ är en lösning till ekvationen

    $\displaystyle\cos x = \cos 2x;$

för att finna talet $a$ följer man rådet som Smutstvätt gav och löser en andragradsekvation uttryckt i $\cos x$. 

Alternativt, för att lösa ekvationen:

$\cos x = \cos 2x$

så använder man egenskaperna hos cosinus, vilket ger:

$x = \pm 2x+2\pi n$

och sedan väljs det värde på heltalet $n$ som ger det lägsta positiva värdet på $x$.

Fall 1:

$x=2x+2\pi n$

$x=-2\pi n = 2\pi m$

Minsta positiva lösningen fås för $m=1 \Rightarrow x=2\pi$

Fall 2:

$x=-2x+2\pi n$

$3x=2\pi n$

$x=\frac{2\pi n}{3}$

Minsta positiva lösningen fås för $n=1 \Rightarrow x=\frac{2\pi}{3}$

Alltså, enligt Albikis notation ovan är $a=\frac{2\pi}{3}$