Integraler

Ledning: Gör en variabelsubstitution: cos(x)=u

Moffen skrev:

Ledning: Gör en variabelsubstitution: cos(x)=u

 sin x * 1/u

-ln(-cos(x))?

Omvänd kedjeregeln?

-1/-cosx * sin(x)

Om u=cosx, gäller att du=-sinxdx, det gör att din integral blir: $-\int du/u$, kan du ta över härifrån?

Antingen gör du variabelsubstitutionen som Moffen förselog

cos(x) = u, du/dx = -sin(x) => du = -sin(x)dx

eller också ser du direkt att du har en funktion i nämnaren och dess derivata i täljaren (nästan i alla fall)

då ska man alltid misstänka att en primitiv kan vara ln(nämnaren)

När jag höll på med denna uppgift sa min lärare till mig att jag skulle använda mig av miniräknarens funktion. Kanske till hjälp om man inte kan lösa den algebraiskt 

Moffen skrev:

Om u=cosx, gäller att du=-sinxdx, det gör att din integral blir: $-\int du/u$, kan du ta över härifrån?

 du= -sinx dx ? 

så man deriverar u med avseende på x ?

alltså du/dx = -sinx => du = -sinx dx 

varför är inte du = -sinx ?

och man kan ersätta täljaren med du för att sin x = - du ? 

hur tar man sen primitiva funktionen av du/u ? 

blir det ln(u) för att 1/u * du där 1/u är derivatan av yttrefunktion och du är derivatan av inrefunktion och primitiva funktionen av de är ln(u) alltså ln(cosx) ? och integralen är då $-\left[\ln \right(\cos x){]}_{\mathrm{\pi }/6}^{\mathrm{\pi }/3}$ ? 

Läs igenom det du skrev igen, och svara på dina egna frågor :) Du har typ svarat på dem, det enda är att den primitiva funktionen bör ha absolutbelopp runt cosx (man kan inte ta ln av negativa tal).

Moffen skrev:

Läs igenom det du skrev igen, och svara på dina egna frågor :) Du har typ svarat på dem, det enda är att den primitiva funktionen bör ha absolutbelopp runt cosx (man kan inte ta ln av negativa tal).

Fast då borde sinx = -du/dx eller sinx dx = -du ? 

sinx dx betyder då sinx där x är infinitesimal ? 

Precis, du har att u=cosx, du vet att du/dx=-sinx <=> du=-sinx*dx.

Moffen skrev:

Precis, du har att u=cosx, du vet att du/dx=-sinx <=> du=-sinx*dx.

 Så ungefär så ska man tänka om täljaren är derivatan av nämnaren?

Generellt, om du hittar derivatan av något i din integrand, kan variabelsubstitution fungera bra. Ex:

$\int e^{\sin x}\cos xdx=[u=\sin x, du=\cos xdx]=\int e^{u}du=e^u+C=e^{\sin x}+C$

Moffen skrev:

Generellt, om du hittar derivatan av något i din integrand, kan variabelsubstitution fungera bra. Ex:

$\int e^{\sin x}\cos xdx=[u=\sin x, du=\cos xdx]=\int e^{u}du=e^u+C=e^{\sin x}+C$

 ${\int }_{}^{}{e}^{u}du$ =$\frac{e^{u}du}{du}+C$ = $e^u+C$ ? Hur går du från ${\int }_{}^{}{e}^{u}du$ till $e^u+C$? Ska man tänka samma sak som om u vore x, då blir det $\frac{e^u}{{\displaystyle \frac{du}{dx}}}+C$

Vad betyder du i $e^{u}du$ ? Det är ju cosx dx men har den en annan betydelse för att hitta den primitiva funktionen? 

Jag förstår inte vad du menar. På samma sätt som man vanligen har "dx" i en integral byter man det mot "du". Du kan tänka på dem som "med avseende på vilken variabel ska vi integrera?". T.ex. om a är en konstant och vi integrerar m.a.p x, får vi ju:

$\int adx=ax+c, men om a hade varit vår variabel vi vill integrera och ej en kons\tan t: \int ada=\frac{a^2}{2}+C$. Förstår du?

Moffen skrev:

Jag förstår inte vad du menar. På samma sätt som man vanligen har "dx" i en integral byter man det mot "du". Du kan tänka på dem som "med avseende på vilken variabel ska vi integrera?". T.ex. om a är en konstant och vi integrerar m.a.p x, får vi ju:

$\int adx=ax+c, men om a hade varit vår variabel vi vill integrera och ej en kons\tan t: \int ada=\frac{a^2}{2}+C$. Förstår du?

Blir primitiva funktionen såhär då?

$\int e^{u}du$ = $\frac{e^u}{u\text{'}}+C$ 

Moffen skrev:

Jag förstår inte vad du menar. På samma sätt som man vanligen har "dx" i en integral byter man det mot "du". Du kan tänka på dem som "med avseende på vilken variabel ska vi integrera?". T.ex. om a är en konstant och vi integrerar m.a.p x, får vi ju:

$\int adx=ax+c, men om a hade varit vår variabel vi vill integrera och ej en kons\tan t: \int ada=\frac{a^2}{2}+C$. Förstår du?

 Förstår nu, tack!