Integralens värde och tillämpningar

tror det bara är att Integrera funktionen från 0(alltså klockan 08.00) till 8(alltså 8 timmar efter 08.00)

${\int }_0^{8}240\sin \frac{\mathrm{\pi x}}{12}+400dx$

Och den primitiva funktionen är: 

(-240cos(pix/12)/(pi/12)+400x

=

-240cosx+400x

Eller tänker jag fel? 

Det ser rätt ut, men det syns bättre om du använder formelskrivaren.

EDIT: Jag hade börjat skriva mitt svar innan du editerade, så det var bara den första raden som mitt svar syftade på.

-240cos(8) + 400(8) - (-240cos(0) + 400(0) = 3474,9 m^3

Men det stämmer inte med facit. Gör jag något fel? 

Linn skrev:

Och den primitiva funktionen är: 

(-240cos(pix/12)/(pi/12)+400x

=

-240cosx+400x

Eller tänker jag fel? 

 Med kedjeregeln så kommer $\frac{\mathrm{\pi }}{12}$ att multipliceras vid derivering alltås måste vi ha $\frac{12}{\mathrm{\pi }}$ för att ta bort den. Den primitiva funktionen av $240\sin \frac{\mathrm{\pi x}}{12}$ är $\left(-240\cos \frac{\mathrm{\pi x}}{12}\right)\left(\frac{12}{\mathrm{\pi }}\right)=-\frac{2880}{\mathrm{\pi }}·\cos \frac{\mathrm{\pi x}}{12}$ och primitiva av 400 är 400x alltså får vi 

${\int }_0^{8}240\sin \frac{\mathrm{\pi x}}{12}dx=\left[-\frac{2880·\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi x}}{12}}}{\mathrm{\pi }}+400x\right]$ 

Linn skrev:

Och den primitiva funktionen är: 

(-240cos(pix/12)/(pi/12)+400x

=

-240cosx+400x

Eller tänker jag fel? 

 Ja du tänker fel.

Det gäller inte att $\frac{cos(v)}{2}=cos(\frac{v}{2})$.

På samma sätt så gäller inte att $-\frac{240\cdot cos(\frac{\pi x}{12})}{\frac{\pi}{12}}=-240\cdot cos(x)$

Hej!

När klockan visar 08:00 startar vattenpumpen. Efter x timmar har pumpen pumpat ut

    $\int_{0}^{x} y(t) \, dt$ kubikmeter vatten

där vattenflödet är $y(t) = 400 + 240 \sin(\frac{\pi t}{12})$ kubikmeter per timma.

När klockan visar 16:00 har vattenpumpen arbetat i $x = 8$ timmar, så då har den pumpat ut

    $\int_{0}^{8}400+240 \sin (\frac{\pi t}{12}) \,dt$ kubikmeter vatten.

Integralen beräknas till

    $[400 t-\frac{12 \cdot 240}{\pi}\cos(\frac{\pi t}{12})]_{0}^{8}$ kubikmeter vatten.