Integralen av sqrt(x^2 + 1) med variabelbyte - vad går fel!?!?

Hej. Försöker lösa $\int \sqrt{x^{2} + 1} d x$ med variabelbytet $t = x + \sqrt{x^{2} + 1}$ som

då ska vara ett jätte användbart trick enligt min bok. ( Jag är medveten om att man kan partialintegrera genom $x \sqrt{x^{2} + 1} - \int x \times \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} d x$ men försöker mest lära mig metoden här ). Såhär går det när jag försöker använda detta variabelbyte:

$t = x + \sqrt{x^{2} + 1} x = \frac{t^{2} - 1}{2 t} \sqrt{x^{2} + 1} = t - \frac{t^{2} - 1}{2 t} = \frac{t^{2} + 1}{2 t} \frac{d x}{d t} = \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}} \int \sqrt{x^{2} + 1} d x = \int \frac{t^{2} + 1}{2 t} \times \frac{t^{2} + 1}{2 t^{2}} d t = \int \frac{t^{4} + 2 t^{2} + 1}{4 t^{3}} d t = \int \frac{t}{4} + \frac{1}{2 t} + \frac{1}{4 t^{3}} d t = \frac{t^{2}}{8} + \frac{\ln t}{2} - \frac{1}{8 t^{2}}$

Detta ska sen på något vis bli $\frac{1}{2} (x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}))$

????????

Förstår inte. Och jag förstår inte heller hur detta variabelbyte på något vis ska hjälpa? Så himla förvirrande. Börjar bli redo att vira denna boken kring en kartongrulle och ställa den i vattengarderoben.

Hur gör du omskrivningarna av x och sqrt(x^2+1) i termer av t?

Har ni gått igenom trigonometrisk sub? x=tan(u) är mycket bättre tror jag.

Sedan, vad händer efter t=..., hur blir x= t^2-1/(2t), kanske jag som är blind men hänger inte riktgit med där.

Dracaena skrev:
Har ni gått igenom trigonometrisk sub? x=tan(u) är mycket bättre tror jag.

Sedan, vad händer efter t=..., hur blir x= t^2-1/(2t), kanske jag som är blind men hänger inte riktgit med där.

$t - x = \sqrt{x^{2} + 1} t^{2} - 2 t x + x^{2} = x^{2} + 1 2 t x = t^{2} - 1 x = \frac{t^{2} - 1}{2 t}$

Hoppas inte jag gör något riktigt dumt nu som jag inte ser lol.

Har gått igenom vissa trig substitutioner men inga som jag skulle kunna använda här så vitt jag vet?

EnApelsin skrev:
Hur gör du omskrivningarna av x och sqrt(x^2+1) i termer av t?

$t - x = \sqrt{x^{2} + 1} t^{2} - 2 t x + x^{2} = x^{2} + 1 2 t x = t^{2} - 1 x = \frac{t^{2} - 1}{2 t}$

Jag ser inget fel. Slå ihop allt på samma bråkstreck och byt tillbaka allting till x. du har ju att $t=x+ \sqrt{x^2+1}$ .

Knugenshögra skrev:
EnApelsin skrev:
Hur gör du omskrivningarna av x och sqrt(x^2+1) i termer av t?

$t - x = \sqrt{x^{2} + 1} t^{2} - 2 t x + x^{2} = x^{2} + 1 2 t x = t^{2} - 1 x = \frac{t^{2} - 1}{2 t}$

Ah, okej.

Har du testat att substituera tillbaka när du integrerat färdigt? Det kanske löser sig fint. Du har ju t ex redan en lnt som kommer bli ln(x+sqrt(x^2+1)).

Dracaena skrev:
Jag ser inget fel. Slå ihop allt på samma bråkstreck och byt tillbaka allting till x. du har ju att $t=x+ \sqrt{x^2+1}$ .

Jag försökte det när jag gjorde det på papper, gjorde inte hela förenklingen men jag ser verkligen inte hur $\frac{{(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{4} - 1}{8 {(x + \sqrt{x^{2} + 1})}^{2}} + \frac{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})}{2}$ ska bli $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1} + \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}}{2}$ , där finns liksom ingenstans som x^4 variablen och 4x^3*sqrt(x^2+1) kan försvinna.

Dracaena skrev:
Jag ser inget fel. Slå ihop allt på samma bråkstreck och byt tillbaka allting till x. du har ju att $t=x+ \sqrt{x^2+1}$ .

Ok jag fuskade lite och slog in både facits svar och mitt svar i desmos och fick fram att de faktiskt, på något vänster, är samma. Jag har bara riktigt svårt o se hur en förenkling från mitt svar till facits skulle se ut. Får nog kanske beta lite till på detta. Är det ens säkert att det alltid går o förenkla?

Ja, ditt svar stämmer. Det blir lite knepigt att förenkla faktisk. Det som kommer göra det jobbigt är -1, annars hade det inte varit så värst jobbigt. Den vänstra kvoten går att förenkla till $4x \sqrt{1+x^2}$ men jag ser ingenting uppernbart som skulle göra den förenklingen enkel. Vi har nog gjort det jobbigt för oss själv,

Dracaena skrev:
Ja, ditt svar stämmer. Det blir lite knepigt att förenkla faktisk. Det som kommer göra det jobbigt är -1, annars hade det inte varit så värst jobbigt. Den vänstra kvoten går att förenkla till $4x \sqrt{1+x^2}$ men jag ser ingenting uppernbart som skulle göra den förenklingen enkel. Vi har nog gjort det jobbigt för oss själv,

Hah, ja i slutet av avsnittet säger boken " Övertyga dig om att resultaten är lika ". Vet inte om digitala verktyg får räknas in i övertygelse processen? :p De har ju trots allt rekommenderat att man ska använda just denna metoden med det huvudsakliga syftet att göra läsaren medveten om den snarare än att lösa själva problemet.

Jag satt lite och fundera, jag vet faktiskt inte hur man förenklar kvoten så mycket. Det trillar ju ut en 1:a om man expanderar. Vi kanske kan döpa $\sqrt{1+x^2}$ till något och expandera och försöka förenkla? Det blir ju dock inte så himla roligt eftersom det är upphöjt i 4. Du kan ju prova binomialsatsen.

Jag är dock övertygad att vi antingen gjort det grisigt för oss själva eller att det finns något trick som vi inte ser.

Du kan ju annars övertyga dig själv att det är samma genom att derivera. :p

Jag hade dock kört med trig sub på denna. dvs låta x=tan(u).

Efter en kopp med lite te så kollade jag på den igen. Förläng med konjugatet och använd sedan efter lite förenkling konjugatregeln!

Jag skrev ihop det lite snabbt. Jag skrev det rätt slarvigt (knappt läsbart) men jag tror du kommer förstå principen iaf.

Dracaena skrev:
Jag skrev ihop det lite snabbt. Jag skrev det rätt slarvigt (knappt läsbart) men jag tror du kommer förstå principen iaf.

Jag var och lagade mat så har inte kunnat kolla på uppgiften sen min senaste kommentar!

Kollade igenom det du skrev men jag tror inte riktigt jag hänger med. Vilket konjugat är det du förlänger med? Är det konjugatet av (1/t^2 - t^2) eller är det konjugatet av $\sqrt{x^{2} + 1} + x$ i kvoten? Och hur kunde du multiplicera med -1? ( alla tecken är omvända ).

Jag misstänker att det är kvoten du förlänger men jag förstår fortfarande inte riktigt hur. Vi har $\frac{1}{{(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{2}}$ , hur får du $\sqrt{x^{2} + 1} + x$ i

täljaren?

Ah, sorry ,jag gjorde den för hand och tog istället $t= \sqrt{x^2+1}-x$ , men du har ju plus. Det spelar dock ingen roll.

Det jag gjorde var att jag bytte ut allting till $t= \sqrt{x^2+1}-x$ , du kommer byta ut ditt mot $t= \sqrt{x^2+1}+x$ . Sedan förlänger du med konjugatet av nämnaren. Nämnaren blir 1 och du får då täljaren i kvadrat. Du kommer nu att ha täljaren^2 - konjugatet^2, här applicerar vi konjugatregeln och förenklar paranteserna och klart. Kolla på min uträkning ovan så ser du nog. Du kommer göra exakt samma sak förutom att du har -1/8t^2, jag hade 1/8t^2 och ditt svar kommer bli -4x.. men minustecknet kommer fixa till den.

Hänger du med? :)

Dracaena skrev:
Ah, sorry ,jag gjorde den för hand och tog istället $t= \sqrt{x^2+1}-x$ , men du har ju plus. Det spelar dock ingen roll.

Det jag gjorde var att jag bytte ut allting till $t= \sqrt{x^2+1}-x$ , du kommer byta ut ditt mot $t= \sqrt{x^2+1}+x$ . Sedan förlänger du med konjugatet av nämnaren. Nämnaren blir 1 och du får då täljaren i kvadrat. Du kommer nu att ha täljaren^2 - konjugatet^2, här applicerar vi konjugatregeln och förenklar paranteserna och klart. Kolla på min uträkning ovan så ser du nog. Du kommer göra exakt samma sak förutom att du har -1/8t^2, jag hade 1/8t^2 och ditt svar kommer bli -4x.. men minustecknet kommer fixa till den.

Hänger du med? :)

Ah, nu ser jag det! Tusan vad smart, hade nog aldrig sett det själv. Sen multiplicerar man in 1/8 så har man ju svaret. Pang. Tack så hemskt för hjälpen, hade gått och varit förvirrad över detta i dagar annars! :)

Ingen orsak, kul att det löste sig!

Det är inte alltid lätt att förenkla men har man roten(något) så är det nästan alltid värt att prova multiplicera med konjugatet och se vad som trillar ut.

Svara

Visa senaste svar