Integralen av sin(kx) och cos(kx)?

Derivera dem och se vad du får.

Ja, jag är med på det. Men liksom hur skulle jag kommit fram till de primitiva funktionerna om jag inte redan visste vad de var?

edit: Löste det med variabelsubstitution nu, tack ändå!

En bra metod är faktiskt att pröva sig fram.

Exempel: Ta fram den primitiva funktionen till $f(x)=\frac{2^{3x}}{7}$.

Jag vet att derivatan av $2^{3x}$ är $2^{3x}\cdot\ln{2}\cdot3$, dvs formen $2^{3x}$ är oförändrad vid derivering.

Därför bör den primitiva funktionen vara något med $2^{3x}$. 

Vi prövar med en konstant gånger detta, dvs att $F(x)=k\cdot2^{3x}$.

Vi deriverar nu vårt förslag till primitiv funktion: $F'(x)=k\cdot2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot3$.

Vi vill att detta ska vara lika med $f(x)$, villet ger oss ekvationen 

$k\cdot2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot3=\frac{2^{3x}}{7}$

Om vi nu löser ut $k$ får vi $k=\frac{1}{7\cdot\ln(2)\cdot3}=\frac{1}{21\ln(2)}$

Vår primitiva funktion är därför $F(x)=\frac{2^{3x}}{21\ln(2)}$

=====

Det behöver alltså inte bli rätt på första gissningen.

Gissa ett F(x), derivera, jämför med f(x), anpassa F(x), derivera igen o.s.v. till det gäller att F'(x) = f(x).