integralen av 1/(5+4sinx)

Jag försöker lösa den här uppgiften: $\int \frac{1}{5 + 4 \sin x} d x$

Och har kommit så här långt: $t = \tan \frac{x}{2} d x = \frac{2}{t^{2} + 1} d t \sin x = \frac{2 t}{t^{2} + 1}$

$\int \frac{1}{5 + 4 (\frac{2 t}{t^{2} + 1})} \times \frac{2}{t^{2} + 1} d t = 2 \int \frac{1}{5 t^{2} + 8 t + 5} d t$

Min tanke var att faktorisera nämnaren och sen köra vidare med partialbråksuppdelning men jag vet inte riktigt hur jag ska göra det. Jag har provat med kvadratkomplettering men vet inte riktigt hur jag går vidare efter det med partialbråksuppdelning. Kan någon hjälpa mig komma vidare?

Det låter bra. Hur ser faktoriseringen ut?

Laguna skrev:
Det låter bra. Hur ser faktoriseringen ut?

om jag skriver om uttrycket med det jag har kvadratkompletterat till får jag

$\frac{2}{5} \int \frac{1}{{(t + \frac{4}{5})}^{2} + \frac{9}{25}} d t$

förutsatt att jag har gjort rätt.

Laguna skrev:
Det låter bra. Hur ser faktoriseringen ut?

vänta nu, är det bara att skriva $\frac{A}{\frac{9}{25}} + \frac{B x + c}{{(t + \frac{4}{5})}^{2}}$ ?

Nej, faktoriseringen blir (t + 4/5 + 3i/5)(t + 4/5 - 3i/5).

Laguna skrev:
Nej, faktoriseringen blir (t + 4/5 + 3i/5)(t + 4/5 - 3i/5).

Kan man ta imaginära tal på sånt här?

Komplexa tal funkar som vanliga tal, egentligen. När man är klar kan man skriva om det man får så det innehåller bara reella funktioner.

Det kanske är enklare att göra en substitution i det du har i inlägg #3 så det blir 1/(t²+1), och den kan man slå upp, eller lösa själv med en till lämplig substitution.

Laguna skrev:
Komplexa tal funkar som vanliga tal, egentligen. När man är klar kan man skriva om det man får så det innehåller bara reella funktioner.

Det kanske är enklare att göra en substitution i det du har i inlägg #3 så det blir 1/(t²+1), och den kan man slå upp, eller lösa själv med en till lämplig substitution.

Men ska det inte gå att lösa talet på det sättet jag gjorde?
Om jag substituerar ${(t + \frac{4}{5})}^{2} = u$ och sen $\int \frac{1}{5 u^{2} + \frac{9}{5}}$

Nej, det går inte. Det ska vara faktorerna man har som nämnare, inte termerna i en summa.

Laguna skrev:
Nej, det går inte. Det ska vara faktorerna man har som nämnare, inte termerna i en summa.

Okej, jag provar på ditt sätt

Svara

Visa senaste svar