Integralekvation (Endim analys)

"Lös integralekvationen

$x f (x) = x + \int_{1}^{x} \frac{t}{1 + t} f (t) d t, x \geq 1$ "

Svar: $f (x) = \frac{1 + x}{x} (\ln (1 + x) + \frac{1}{2} - \ln 2)$

Vet att man ska derivera, finna ett begynnelsevärde och sedan lösa som en differentialekvation. Men ingenstans hittar jag hur jag ska göra när f(x) i VL multipliceras med en variabel. Jag har försökt derivera som det är (alltså med x kvar i VL) men det blev konstigt och sedan försökte jag derivera efter att ha dividerat bort x på båda sidor (så jag får termen 1/x framför integraltecknet. Det blir också konstigt. Är jag på rätt väg? Eller är det nåt annat man ska göra?

Använd produktregeln!

$\dfrac{d}{dx}[xf\left(x\right)]=f\left(x\right)+xf'\left(x\right)$

I de enda andra uppgifterna går integralen från 0 till x och man kunde lösa f(0) för att få ett begynnelse värde. Nu får jag f(1)=1 vilket get C=1/2 som är intressant då det finns med i facit, men det är massa ln som är med så jag måste ju missat en hel drös med grejer jag måste göra???

D[x] = 0?

Juuuste 1 blir det ju

Men jag blir ändå galen för nu är jag så nära men ändå saknas det -ln2.

Det måste vara från begynnelsevilkoret då?

Ja, konstanten $C$ blir inte $1/2$ .

Pröva sätt in $f(1)=1$ i

$f\left(x\right)\cdot\dfrac{x}{x+1}=\ln\left(x+1\right)+C$

Ja men så blir det ju. Blandar ihop alldeles för mycket. Tusen tack, jag ska prova.

Jag får svaret till: $f (x) = (\frac{1 + x}{x}) (- L n (1 + x) + (\frac{1}{x} + L n (2)))$

Men i boken är svaret: $f (x) = (\frac{1 + x}{x}) (L n (1 + x) + \frac{1}{2} - L n (2))$

Något som skulle kunna verifiera att jag gjort rätt/fel?

Svara

Visa senaste svar