Integralekvation. Behöver lite hjälp för att komma vidare...

zlatan22 skrev :

Uppgiften är:

Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner y som uppfyller integralekvationen:

$x-2+y\left(x\right)={\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt$

Då tänker jag att man ska derivera båda leden och får då: 

1+y'(x)=$y(x{)}^2$

sen vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta... ska jag använda den separabla metoden? 

Ja, det låter som en god idé. Men först vill jag att vi enas om att $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_x^af(t)\,\mathrm{d}t=-f(x)$. Efter derivering får du:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-1-y^2$

 (Vi uppfattar något oegentligt $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ som kvoten mellan differentialerna varvid)

$\frac{\mathrm{d y}}{1+y^2} =-{\mathrm{d} x}$

$\int \frac{\mathrm{d y}}{1+y^2} =-x+\varphi$

Notera också att du kan hitta y(2)=0 (hur?)

zlatan22 skrev :

Uppgiften är:

Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner y som uppfyller integralekvationen:

$x-2+y\left(x\right)={\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt$

Då tänker jag att man ska derivera båda leden och får då: 

1+y'(x)=$y(x{)}^2$

sen vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta... ska jag använda den separabla metoden? 

Skall det vara HL= integralen mellan x och 2 av (y(t))^2?

Guggle skrev :

zlatan22 skrev :

Uppgiften är:

Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner y som uppfyller integralekvationen:

$x-2+y\left(x\right)={\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt$

Då tänker jag att man ska derivera båda leden och får då: 

1+y'(x)=$y(x{)}^2$

sen vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta... ska jag använda den separabla metoden? 

Ja, det låter som en god idé. Men först vill jag att vi enas om att $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_x^af(t)\,\mathrm{d}t=-f(x)$. Efter derivering får du:

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-1-y^2$

 (Vi uppfattar något oegentligt $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ som kvoten mellan differentialerna varvid)

$\frac{\mathrm{d y}}{1+y^2} =-{\mathrm{d} x}$

$\int \frac{\mathrm{d y}}{1+y^2} =-x+\varphi$

Notera också att du kan hitta y(2)=0 (hur?)

Ajusste eftersom att man byter plats på integrationsgränserna? så:

$HL: {\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt=-{\int }_2^{x}y(t{)}^{2}dt$  Vill man alltid ha x där uppe på integralekvationer?

y(2)=0 Det hittar man genom att sätta in det x - värde som ger samma undre och övre gräns. Då får man: $2-2+y\left(2\right)={\int }_2^{2}y(t{)}^{2}dt$ och då får man både att VL och HL är 0. Alltså är det också en lösning till ekvationen? 

anders45 skrev :

zlatan22 skrev :

Uppgiften är:

Bestäm alla kontinuerligt deriverbara funktioner y som uppfyller integralekvationen:

$x-2+y\left(x\right)={\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt$

Då tänker jag att man ska derivera båda leden och får då: 

1+y'(x)=$y(x{)}^2$

sen vet jag inte riktigt hur jag ska fortsätta... ska jag använda den separabla metoden? 

Skall det vara HL= integralen mellan x och 2 av (y(t))^2?

Yes det ska det va. Det var nog det som ställde till det för mig. 

zlatan22 skrev :

$HL: {\int }_x^{2}y(t{)}^{2}dt=-{\int }_2^{x}y(t{)}^{2}dt$  Vill man alltid ha x där uppe på integralekvationer?

Du får ha x och konstanten var du vill bara du håller ordning på tecknet, dvs $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_a^xf(t)\,\mathrm{d}t=f(x)$ vilket betyder att $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\int_x^af(t)\,\mathrm{d}t=-f(x)$.

y(2)=0 Det hittar man genom att sätta in det x - värde som ger samma undre och övre gräns. Då får man: $2-2+y\left(2\right)={\int }_2^{2}y(t{)}^{2}dt$ och då får man både att VL och HL är 0. Alltså är det också en lösning till ekvationen? 

När vi integrerar båda led får vi en integrationskonstant (jag kallade den $\varphi$ eftersom VL kommer ge dig en $\arctan()$-funktion och jag då förväntar mig att du använder $\tan$). Du kan bestämma integrationskonstanter med hjälp av bland annat randvärden och begynnelsevillkor. y(2)=0 är ett villkor som låter dig bestämma en konstant.