Integralekvation

Hej!

Uppgiften lyder såhär och man ska bestämma alla funktioner y som uppfyller denna:

$x - 2 + y = \int_{x}^{2} y (t)^{2} d t, y (2) = 0$

Dom visar hur man löser denna och det gör dom på detta sätt:

$x - 2 + y = - \int_{2}^{x} y (t)^{2} d t \Leftrightarrow 1 + y^{'} = - y^{2}$ Sedan vet jag hur man löser denna själv. Men min fråga är varför byter dom plats på undre och övre integrationsgränser och byter tecken i HL? Hade man inte kunnat löst den såhär?:

$1 + y^{'} = y^{2}$

Tänk så här:

$y(t)^2 = h(t)$

$\frac{d}{dx}\int_x^2y(t)^2dt =$

$\frac{d}{dx} (H(2)-H(x)) =$

$0-H'(x) = -h(x) = -y(x)^2$

Q.E.D.

Hej!

Definiera funktionen

$\displaystyle Y(x) = \int_{2}^{x} (y(t))^2 dt$ ;

notera att

$-Y(x) = \int_{x}^{2}(y(t))^2 dt$

och att derivatan $Y'(x) = (y(x))^2.$

Integralekvationen kan skrivas

$\displaystyle x-2+y(x) = -Y(x)$

vilket ger differentialekvationen

$\displaystyle 1+y'(x) = -(y(x))^2.$

Svara