Integralberäkning

Yller skrev :

Hej! Jag läser matte 4 och har fastnat! Är väldigt tacksam om någon kan hjälpa mig! Jag har prov snart och måste förstå hur man gör.

Frågan leder: Visa genom att integralberäkning att arean mellan f(x)= x^2 och g(x)=x är lika stor som arean mellan funktionerna h(x)= x^0,5 och J (x) =x. 

h(x) är en invers funktion till f(x) (när x > 0 ) 

 

Tack i förhand!!!

Hur långt har du kommit?

Har du ritat två figurer?

Har du hittat integrationsgränserna?

Har du ställt upp uttrycken för de båda areorna?

Jag har inte kommit igån än, vet inte riktigt hur jag ska gå tillväga, är tacksam om du kan hjälpa mig ! 

Javisst.

Men du måste hjälpa till lite.

Till att börja med: Vet du vad integraler är och hur man räknar med dem?

Nu har jag ritat figurerna men jag lyckas inte hitta integrationsgränserna

Vet du vad integraler är och hur man räknar med dem?

$\begin{array}{c}\int b\\ a\end{array}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Jag vet att man använder denna regeln vid beräkning av areor mellan grafen och x-axeln. 

Om vi  börjar med den första arean, så är nästa steg (när du har ritat upp dem) att ta reda på integrationsgränserna, d v s ta reda på för vilka (två) x-värden det gäller att f(x) = g(x). Då får du de båda värdena a respektive b i ditt integraluttryck.

Yller skrev :

$\begin{array}{c}\int b\\ a\end{array}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Jag vet att man använder denna regeln vid beräkning av areor mellan grafen och x-axeln. 

Bra, Och jag antar att du även vet att F(x) är en primitiv funktion till f(x), dvs att F'(x) = f(x).

När du ska beräkna arean mellan två kurvor f(x) och g(x) mellan x=a och x=b så kan du antingen ta den ena integralen minus den andra så här: ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx$ 

Eller också kan du skriva ihop funktionerna i samma integral så här:

${\int }_a^b\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)dx$.

Detta gäller om $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$ i hela intervallet mellan a och b. Annars får du byta plats på funktionerna.

Du ska alltså ta den "övre" funktionen minus den "undre" funktionen.

Kommer du vidare nu?

$\begin{array}{c}\int b\\ a\end{array}F\left(x^2\right)dx-\begin{array}{c}\int b\\ a\end{array}g\left(x\right)dx$

Blir det så, vad ska jag ha istället för b och a?

Yller skrev :

∫baFx2dx-∫bagxdx

Blir det så, vad ska jag ha istället för b och a?

Nej inte F(x^2) utan f(x).

Där f(x) = x^2 och g(x) = x 

Vilken av dessa kurvor är ovanför den andra i intervallet?

a är den nedre (vänstra) integrationsgränsen och b är den övre (högra) integrationsgränsen. Hur ska du hitta dem?