Integral som konvergerar eller divergerar

Hej, jag sitter med den här frågan och är lite osäker på min uträkning:

Jag har använt mig av denna metoden, den fungerar för vissa typer av integraler men är osäker på om jag kan använda denna här. Eftersom x^4 är den snabbaste växande faktorn eliminera jag x^2 och -1 från uttrycket och löste denna integral istället:

$\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x - - > \int_{\sqrt{3}}^{t} \frac{1}{x} = \frac{1}{t} - \frac{1}{\sqrt{3}}$

Utifrån den här metoden får jag att integralen konvergerar mot -1/sqrt(3) men jag är osäker på om detta är rätt eftersom jag testade att använda online kalkylator som då sa att den divergerar (kan ha slått in fel också). Har inte tillgång till något facit så kan inte verifiera ifall jag tänkt rätt.

Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

henrikus skrev:
Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

Vad är det du gör med uttrycket i det fjärde steget?

mekatronik skrev:
henrikus skrev:
Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

Vad är det du gör med uttrycket i det fjärde steget?

$E f t e r s o m x \geq \sqrt{3} ä r x^{2} - 1 \geq 3 - 1 = 2 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 1} \leq \frac{1}{2}$

henrikus skrev:
mekatronik skrev:
henrikus skrev:
Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

Vad är det du gör med uttrycket i det fjärde steget?

$E f t e r s o m x \geq \sqrt{3} ä r x^{2} - 1 \geq 3 - 1 = 2 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 1} \leq \frac{1}{2}$

Då hänger jag med på noterna, tack så mycket för hjälpen!

Förresten, såg du direkt att den konvergera eller räknade du ut det? Ifall du såg det, hur såg du det?

mekatronik skrev:
henrikus skrev:
mekatronik skrev:
henrikus skrev:
Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

Vad är det du gör med uttrycket i det fjärde steget?

$E f t e r s o m x \geq \sqrt{3} ä r x^{2} - 1 \geq 3 - 1 = 2 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 1} \leq \frac{1}{2}$

Då hänger jag med på noterna, tack så mycket för hjälpen!

Förresten, såg du direkt att den konvergera eller räknade du ut det? Ifall du såg det, hur såg du det?

Jag såg direkt att den borde konvergera eftersom $\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} ~ \frac{1}{x^{2}}$ men det är ju inte stringent så jag räknade ut det stringent också.

henrikus skrev:
mekatronik skrev:
henrikus skrev:
mekatronik skrev:
henrikus skrev:
Ganska lätt att se att integralen konvergerar.

$\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} = \frac{x^{2} - 1 + 1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)} = / x \geq \sqrt{3} / \leq \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{2 (x^{2} + 1)} = \frac{3}{x^{2} + 1}$

Och $\int_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac{3 d x}{x^{2} + 1}$ är ju konvergent

Då återstår bara att beräkna integralen. Partialbråksuppdela osv.

Vad är det du gör med uttrycket i det fjärde steget?

$E f t e r s o m x \geq \sqrt{3} ä r x^{2} - 1 \geq 3 - 1 = 2 \Rightarrow \frac{1}{x^{2} - 1} \leq \frac{1}{2}$

Då hänger jag med på noterna, tack så mycket för hjälpen!

Förresten, såg du direkt att den konvergera eller räknade du ut det? Ifall du såg det, hur såg du det?

Jag såg direkt att den borde konvergera eftersom $\frac{x^{2}}{x^{4} - 1} ~ \frac{1}{x^{2}}$ men det är ju inte stringent så jag räknade ut det stringent också.

Det är logiskt, tack så mycket för rådet också!

Svara

Visa senaste svar