Integral regler

Smith skrev :

Vi vet att:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 4 \\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx = 2 \\ {\int }_2^{4}f\left(x\right)dx= 14 \\ Beräkna: \\ a) {\int }_1^{2}f(x)dx \\ b) {\int }_1^{4}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Jag vet att det har något med följande formel: 

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx + {\int }_b^{c}f\left(x\right)dx = {\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$

Men jag får inte till det.. förstår inte ens själva formeln för den delen! :(

Jag skriver integralerna lite förenklat.

Allmän formel: ${\int }_a^b+{\int }_b^c={\int }_a^c$

a-uppgiften: Enligt formeln så gäller att ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}={\int }_0^2$, där endast rödmarkerad integral har ett okänt värde.

b-uppgiften: Med hjälp av formeln och de värden du känner till kan du beräkna värdet på ${\int }_0^4$. Sedan gäller att ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{4}}={\int }_0^4$, där endast rödmarkerad integral har ett okänt värde.

Smith skrev :

.. förstår inte ens själva formeln för den delen! :(

Formeln säger att om du ska integrera en funktion över ett intervall så kan du dela upp det intervallet i delintervall, integrera varje del för sig och sedan summera integralernas värden.

Om vi till exempel vill integrera $f\left(x\right)=x^2$ från x = 0 till x = 2 så kan vi antingen göra det direkt eller dela upp intervallet i delar och integrera delarna var för sig:

${\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{2^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{8}{3}$

${\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_1^2{x}^{2}dx=\left(\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}\right)+\left(\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}\right)=\frac{1^3}{3}+\frac{2^3}{3}-\frac{1^3}{3}=\frac{2^3}{3}=\frac{8}{3}$

Yngve skrev :

Smith skrev :

Vi vet att:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 4 \\ {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx = 2 \\ {\int }_2^{4}f\left(x\right)dx= 14 \\ Beräkna: \\ a) {\int }_1^{2}f(x)dx \\ b) {\int }_1^{4}f\left(x\right)dx \end{gathered}$$

Jag vet att det har något med följande formel: 

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx + {\int }_b^{c}f\left(x\right)dx = {\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$

Men jag får inte till det.. förstår inte ens själva formeln för den delen! :(

Jag skriver integralerna lite förenklat.

Allmän formel: ${\int }_a^b+{\int }_b^c={\int }_a^c$

a-uppgiften: Enligt formeln så gäller att ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}={\int }_0^2$, där endast rödmarkerad integral har ett okänt värde.

b-uppgiften: Med hjälp av formeln och de värden du känner till kan du beräkna värdet på ${\int }_0^4$. Sedan gäller att ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{4}}={\int }_0^4$, där endast rödmarkerad integral har ett okänt värde.

Jag förstår inte hur du kommer fram till detta.. hur vet du att det blir såhär?  ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}={\int }_0^2$

Smith skrev :

Yngve skrev :

Allmän formel: ${\int }_a^b+{\int }_b^c={\int }_a^c$

Jag förstår inte hur du kommer fram till detta.. hur vet du att det blir såhär?  ${\int }_0^1+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}={\int }_0^2$

Med a = 0, b = 1 och c = 2 så följer det direkt ur den allmäna formeln.

Blir förvirrad har svårt att avgöra vilka siffror som är a b och c? 

Smith skrev :

Blir förvirrad har svårt att avgöra vilka siffror som är a b och c? 

Vad menar du? Det står ju i allmäna formeln.

Vänsterledet:

• Första integralens undre gräns är a (=0 i vår uppgift).
• Första integralens övre gräns är b (=1 i vår uppgift).
• Andra integralens undre gräns är b (=1 i vår uppgift).
• Andra integralens övre gräns är c (=2 i vår uppgift)

Högerledet:

• Integralens undre gräns är a (=0 i vår uppgift).
• Untegralens övre gräns är c (=2 i vår uppgift)

Jag får inte in detta i huvudet. D:

Smith skrev :

Jag får inte in detta i huvudet. D:

Förstår du den allmäna formeln och varför den gäller?

Nej, jag har svårt att tolka i uppgiften vad som ska vara b och c och a för det skiljer ju sig. För a) uppgiften  var det annorlunda, och då tänker jag att a= det minsta talet , b= tal större än a  och c= är större än b. Men jag tillämpade det på b)uppgiften och då var det ju helt fel. Jag förstår inte heller formeln. Ber om ursäkt för att jag inte fattar, men det går inte in i mitt huvud hur man ska tänka. Kanske du kan förklara det på ett annat sätt? 

Smith skrev :

Nej, jag har svårt att tolka i uppgiften vad som ska vara b och c och a för det skiljer ju sig. För a) uppgiften  var det annorlunda, och då tänker jag att a= det minsta talet , b= tal större än a  och c= är större än b. Men jag tillämpade det på b)uppgiften och då var det ju helt fel. Jag förstår inte heller formeln. Ber om ursäkt för att jag inte fattar, men det går inte in i mitt huvud hur man ska tänka. Kanske du kan förklara det på ett annat sätt? 

OK vi börjar med att försöka förstå formeln och varför den gäller.

Allmänt om integralberäkning:

Om en funktion $f\left(x\right)$ har en primitiv funktion $F\left(x\right)$ så gäller att integralen av $f\left(x\right)$ från $x=a$ till $x=b$ kan beräknas på följande sätt:

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Är du med på detta? Dvs förstår du att detta gäller?

Okej, jag är med på detta. :)

Smith skrev :

Okej, jag är med på detta. :)

Bra. På samma sätt gäller även att integralen av $f\left(x\right)$ från $x=b$ och $x=c$ kan skrivas

${\int }_b^{c}f\left(x\right)dx=F\left(c\right)-F\left(b\right)$

Om vi nu adderar dessa två integraler så får vi följande resultat:

${\mathbf{\int }}_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{d}\mathit{x}+{\mathbf{\int }}_{\mathbf{b}}^{\mathbf{c}}\mathit{f}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{d}\mathit{x}=\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{b}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{a}\mathbf{\right)}+\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{b}\mathbf{\right)}=\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{a}\mathbf{\right)}$

Men eftersom det även gäller att

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx=\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{F}\mathbf{\left(}\mathit{a}\mathbf{\right)}$ så måste det alltså gälla att

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_b^{c}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$, vilket är just den formel vi skulle förklara.

Är du med på det?

Jag tror jag är med, om du provar med siffror då kanske jag hänger "bättre" med.

Smith skrev :

Jag tror jag är med, om du provar med siffror då kanske jag hänger "bättre" med.

Behöver du fortfarande hjälp med detta?

Du har ju på egen hand lyckats lösa detta problem som kräver att du använder just den formeln.

Om du behöver övning så kan du få i uppgift att beräkna integralen av f(x) = 2x - 1 från x = 0 till x = 4.

Räkna på två sätt:

1. En integral för hela intervallet 0 till 4
2. Summan av två integraler. En från 0 till 2 och en från 2 till 4.

Verifiera att du får samma resultat med de båda metoderna.

Vänta..

fråga 1. uppgiften du länkade ger inte samma svar för metod 1 och metod 2 väl? för det är två grafer i den uppgiften.

Men i din uppgift som du nu skrev till går det. 

Och en till fråga: jag kom faktiskt aldrig på att det var just nu integralregeln jag använde för att lösa den där uppgiften ironiskt nog, men ska man rita för att få en bättre förståelse för det? Tycker dock att det tar väldigt lång tid att rita... jag kanske kan förstå den grafiska metoden men inte den algebraiska metoden för detta med integralregeln... jag vill gärna lära mig den algebraiska metoden utan att behöva rita och jag vet inte hur jag ska göra? har suttit med detta länge nu men ändå fastnar inte det. 

Att "försöka lära sig den algebraiska metoden utan att behöva rita" är ett av de mest effektiva sätten jag kan föreställa mig att kasta bort sin tid. Det första steget när man skall lösa en integral bör alltid, alltid, alltid vara att rita!

Ja men om en uppgift efterfrågar att visa med a) grafisk metod och b) med algebraisk metod, så menar jag...?

Även om man skall beräkna något algebraiskt, bör man rita upp det först, annars kan man missa t ex att ens över- och underfunktioner korsar varandra.

Ja, jag ritar ju i a) där det står grafisk metod och i b) då måste jag ju visa algebraisk metod.

Smith skrev :

Ja, jag ritar ju i a) där det står grafisk metod och i b) då måste jag ju visa algebraisk metod.

Vilken uppgift pratar du om?

För övrigt håller jag med Smaragdalena till 100 % här.

Du bör alltid alltid rita åtminstone en grov skiss över hur funktionerna ser ut.

Detta för att

• du ska få förståelse för hur området du ska areaberäkna ser ut (om det är vad uppgiften handlar om).
• du ska se vilken funktion som är "övre" och vilken som är "undre".
• du ska se vilka områdets gränser är, om funktionerna till exempel korsar varandra i intervallet.
• du ska se om det ev. finns någon genväg till att lösa problemet. Området kanske är triangelformat till exempel?

Jag drog ett exempel detta med att visa en algebraisk metod.. men okej jag ska då börja alltid att rita för ni har ju en poäng i det hela.. jag ville bara förstå hur regeln fungerade.

yngve du sa att det finns två metoder (1 och 2) för integralen 2x-1.. det håller jag med om

men för den länken du länkade, finns bara en metod och det är metod 2 väl?

Smith skrev :

men för den länken du länkade, finns bara en metod och det är metod 2 väl?

Ja för att lösa din "övningsuppgift" (som gällde att bestämma arean av det gröna området) så är det enklast att dela upp intervallet i två delar och summera de två olika integralernas värden.