Integral och primitiv funktion

- Grafen visar funktionen $y\left(x\right)$, dvs laddningsströmmen $y$som funktion av tiden $x$.

- Du vill hitta tiden där laddningsströmmen är 0.4A. Dvs du vill hitta $x_{klar}$, där $y\left(x_{klar}\right)=0.4$

- Från uppgifttexten får du två ledtrådar, dels ger dom dig $y\text{'}\left(x\right)$, dels ger dom dig att $y\left(1\right)=1.5$ 

Eftersom $y\left(x\right)$ är en primitiv funktion av $y\text{'}\left(x\right)$, så får man från integralens definition:

 ${\int }_1^{x_{slut}}y\text{'}\left(x\right)dx=y\left(x_{slut}\right)-y\left(1\right)=0.4-1.5=-1.1$

Jag tycker det är lite enklare att tänka såhär:

Jag beräknar de primitiva funktionerna av $y\text{'}\left(x\right)$, dvs $y\left(x\right)=1.3e^{-0.36(x-1)}+C$. Då har jag laddningsströmmen som funktion av tiden, precis det som grafen visar. Förutom konstanten $C$, men eftersom jag vet att $y\left(1\right)=1.5$ så kan jag beräkna konstanten. Sedan kan jag beräkna tiden för vilken $y=0.4$.

JohanF skrev:

- Grafen visar funktionen $y\left(x\right)$, dvs laddningsströmmen $y$som funktion av tiden $x$.

- Du vill hitta tiden där laddningsströmmen är 0.4A. Dvs du vill hitta $x_{klar}$, där $y\left(x_{klar}\right)=0.4$

- Från uppgifttexten får du två ledtrådar, dels ger dom dig $y\text{'}\left(x\right)$, dels ger dom dig att $y\left(1\right)=1.5$ 

 

Eftersom $y\left(x\right)$ är en primitiv funktion av $y\text{'}\left(x\right)$, så får man från integralens definition:

 ${\int }_1^{x_{slut}}y\text{'}\left(x\right)dx=y\left(x_{slut}\right)-y\left(1\right)=0.4-1.5=-1.1$

 

Jag tycker det är lite enklare att tänka såhär:

Jag beräknar de primitiva funktionerna av $y\text{'}\left(x\right)$, dvs $y\left(x\right)=1.3e^{-0.36(x-1)}+C$. Då har jag laddningsströmmen som funktion av tiden, precis det som grafen visar. Förutom konstanten $C$, men eftersom jag vet att $y\left(1\right)=1.5$ så kan jag beräkna konstanten. Sedan kan jag beräkna tiden för vilken $y=0.4$.

men hur får man fram att man ska subrahera y(1) ?? 

Splash.e skrev:

JohanF skrev:

- Grafen visar funktionen $y\left(x\right)$, dvs laddningsströmmen $y$som funktion av tiden $x$.

- Du vill hitta tiden där laddningsströmmen är 0.4A. Dvs du vill hitta $x_{klar}$, där $y\left(x_{klar}\right)=0.4$

- Från uppgifttexten får du två ledtrådar, dels ger dom dig $y\text{'}\left(x\right)$, dels ger dom dig att $y\left(1\right)=1.5$ 

 

Eftersom $y\left(x\right)$ är en primitiv funktion av $y\text{'}\left(x\right)$, så får man från integralens definition:

 ${\int }_1^{x_{slut}}y\text{'}\left(x\right)dx=y\left(x_{slut}\right)-y\left(1\right)=0.4-1.5=-1.1$

 

Jag tycker det är lite enklare att tänka såhär:

Jag beräknar de primitiva funktionerna av $y\text{'}\left(x\right)$, dvs $y\left(x\right)=1.3e^{-0.36(x-1)}+C$. Då har jag laddningsströmmen som funktion av tiden, precis det som grafen visar. Förutom konstanten $C$, men eftersom jag vet att $y\left(1\right)=1.5$ så kan jag beräkna konstanten. Sedan kan jag beräkna tiden för vilken $y=0.4$.

men hur får man fram att man ska subrahera y(1) ?? 

Det enkla svaret på din fråga är att det framgår från integralens definition att man ska subtrahera y(1). Men ett försök att förklara på ett mer intuitivt sätt så är det ju först vid x=1 som den derivata y' som anges uppgifttexten börjar gälla. Den som har hänt före tiden x=1 kan inte förklaras av y', därför måste man utgå från y(1) som ”referenspunkt” när man beräknar sin ”area under grafen”. Med andra ord, man gör sig helt enkelt oberoende av konstanten C i den primitiva funktionen till y' om man subtraherar två funktionsvärden av den primitiva funktion med varandra.

Det är precis samma sak som man gör med det andra resonemanget, man använder y(1) för att beräkna konstanten C, och därefter kan man enkelt relatera till den kurva i figuren som ges i uppgiften. Känns mer intuitivt att tänka så, iallafall för mig. Och matematiskt sett är det samma sak.

(Jag håller helt med dig att primitiva funktioner, integraler och areor under grafer lätt kan bli förvirrande att försöka hålla reda på, det gäller att försöka hitta ett tänk som fungerar för en själv. Som naturligtvis också ska vara ett matematiskt riktigt tänk)

JohanF skrev:

Splash.e skrev:

Visa föregående citat

JohanF skrev:

- Grafen visar funktionen $y\left(x\right)$, dvs laddningsströmmen $y$som funktion av tiden $x$.

- Du vill hitta tiden där laddningsströmmen är 0.4A. Dvs du vill hitta $x_{klar}$, där $y\left(x_{klar}\right)=0.4$

- Från uppgifttexten får du två ledtrådar, dels ger dom dig $y\text{'}\left(x\right)$, dels ger dom dig att $y\left(1\right)=1.5$ 

 

Eftersom $y\left(x\right)$ är en primitiv funktion av $y\text{'}\left(x\right)$, så får man från integralens definition:

 ${\int }_1^{x_{slut}}y\text{'}\left(x\right)dx=y\left(x_{slut}\right)-y\left(1\right)=0.4-1.5=-1.1$

 

Jag tycker det är lite enklare att tänka såhär:

Jag beräknar de primitiva funktionerna av $y\text{'}\left(x\right)$, dvs $y\left(x\right)=1.3e^{-0.36(x-1)}+C$. Då har jag laddningsströmmen som funktion av tiden, precis det som grafen visar. Förutom konstanten $C$, men eftersom jag vet att $y\left(1\right)=1.5$ så kan jag beräkna konstanten. Sedan kan jag beräkna tiden för vilken $y=0.4$.

men hur får man fram att man ska subrahera y(1) ?? 

Det enkla svaret på din fråga är att det framgår från integralens definition att man ska subtrahera y(1). Men ett försök att förklara på ett mer intuitivt sätt så är det ju först vid x=1 som den derivata y' som anges uppgifttexten börjar gälla. Den som har hänt före tiden x=1 kan inte förklaras av y', därför måste man utgå från y(1) som ”referenspunkt” när man beräknar sin ”area under grafen”. Med andra ord, man gör sig helt enkelt oberoende av konstanten C i den primitiva funktionen till y' om man subtraherar två funktionsvärden av den primitiva funktion med varandra.

Det är precis samma sak som man gör med det andra resonemanget, man använder y(1) för att beräkna konstanten C, och därefter kan man enkelt relatera till den kurva i figuren som ges i uppgiften. Känns mer intuitivt att tänka så, iallafall för mig. Och matematiskt sett är det samma sak.

(Jag håller helt med dig att primitiva funktioner, integraler och areor under grafer lätt kan bli förvirrande att försöka hålla reda på, det gäller att försöka hitta ett tänk som fungerar för en själv. Som naturligtvis också ska vara ett matematiskt riktigt tänk)

har du något tips på hur man kan skilja på primitiva funktioner och integraler? 

Splash.e skrev:

JohanF skrev:

Visa föregående citat

Splash.e skrev:

JohanF skrev:

- Grafen visar funktionen $y\left(x\right)$, dvs laddningsströmmen $y$som funktion av tiden $x$.

- Du vill hitta tiden där laddningsströmmen är 0.4A. Dvs du vill hitta $x_{klar}$, där $y\left(x_{klar}\right)=0.4$

- Från uppgifttexten får du två ledtrådar, dels ger dom dig $y\text{'}\left(x\right)$, dels ger dom dig att $y\left(1\right)=1.5$ 

 

Eftersom $y\left(x\right)$ är en primitiv funktion av $y\text{'}\left(x\right)$, så får man från integralens definition:

 ${\int }_1^{x_{slut}}y\text{'}\left(x\right)dx=y\left(x_{slut}\right)-y\left(1\right)=0.4-1.5=-1.1$

 

Jag tycker det är lite enklare att tänka såhär:

Jag beräknar de primitiva funktionerna av $y\text{'}\left(x\right)$, dvs $y\left(x\right)=1.3e^{-0.36(x-1)}+C$. Då har jag laddningsströmmen som funktion av tiden, precis det som grafen visar. Förutom konstanten $C$, men eftersom jag vet att $y\left(1\right)=1.5$ så kan jag beräkna konstanten. Sedan kan jag beräkna tiden för vilken $y=0.4$.

men hur får man fram att man ska subrahera y(1) ?? 

Det enkla svaret på din fråga är att det framgår från integralens definition att man ska subtrahera y(1). Men ett försök att förklara på ett mer intuitivt sätt så är det ju först vid x=1 som den derivata y' som anges uppgifttexten börjar gälla. Den som har hänt före tiden x=1 kan inte förklaras av y', därför måste man utgå från y(1) som ”referenspunkt” när man beräknar sin ”area under grafen”. Med andra ord, man gör sig helt enkelt oberoende av konstanten C i den primitiva funktionen till y' om man subtraherar två funktionsvärden av den primitiva funktion med varandra.

Det är precis samma sak som man gör med det andra resonemanget, man använder y(1) för att beräkna konstanten C, och därefter kan man enkelt relatera till den kurva i figuren som ges i uppgiften. Känns mer intuitivt att tänka så, iallafall för mig. Och matematiskt sett är det samma sak.

(Jag håller helt med dig att primitiva funktioner, integraler och areor under grafer lätt kan bli förvirrande att försöka hålla reda på, det gäller att försöka hitta ett tänk som fungerar för en själv. Som naturligtvis också ska vara ett matematiskt riktigt tänk)

har du något tips på hur man kan skilja på primitiva funktioner och integraler? 

Man använder primitiva funktioner för att beräkna integraler, så de hör ihop.

Det viktigaste sambandet att kunna är ju såklart integralkalkylens fundamentalsats, dvs

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

Men någonting som kanske kan hjälpa dig att sära lite på begreppen integral och primitiv funktion är att tänka på satsen om en funktions "areafunktion".  "areafunktionen" A(x) som beskriver arean under en funktion f(x) är _en_ primitiv funktion till f(x). (Läroböckerna härleder fundamentalsatsen på lite olika sätt, en del böcker gör det genom att utgå från satsen om areafunktionen).

Det viktiga med satsen om areafunktionen A(x), är att A(x) är _en_ primitiv funktion till f(x). Dvs bara för att man har hittat någon primitiv funktion till f(x), så behöver inte det betyda att just denna primitiva funktionen beskriver arean. Du vet ju att det finns oändligt många primitiva funktioner till en funktion, som skiljer sig ifrån varandra genom konstanten C, och självklart kan då inte alla dessa beskriva samma area. Tricket som då utnyttjas i integralkalkylens fundamentals är att teckna arean som differensen mellan två funktionsvärden av _samma_ primitiva funktion, eftersom konstanten C då försvinner.

Och det är precis detta man måste känna till i uppgiften du nyss har löst. Hade facit inte subtraherat med y(1), eller hade jag inte bestämt C med hjälp av y(1), så hade man inte fått arean under grafen utan något annat som skulle ha blivit fel.