integral och derivation

Dara skrev:

om en funktion  är drivbar har en derivation som en funktion, det betyder att derivationen till funktion är en funktion.

Du menar nog: Om en funktion är deriverbar ... resten begriper jag inte

om det finns precis ett tal I som för alla indelningar av intervallet ligger mellan över- och undersumman är f(x) integrerbar och 

$I={\int }_a^b\left(f\right(x\left)\right)dx$

det betyder att integration till en funktion är ett tal eller arean som ligger under kurvan mellan a och b.

du menar nog att integralen är ett tal...

men jag undrar vad är anti derivatet

Ibland kallar man integralen för anti-derivatan, eftersom integration är motsatsen till derivering.

Som jag förstår från ditt svar att det är motsatsen till varandra trots att de har olika begrepp och contexter

Jag har alltid uppfattat "antiderivatan" som att det skulle motsvara att kalla minus för "anti-plus" och division för "anti-multiplikation". I vilka sammanhang har du träffat på begreppet antiderivata?

Dara,

Jag förstår inte riktigt din fråga. Men jag tror du ska hålla isär (bestämd) integral och primitiv funktion. Ett exempel.

f(x) = 2x

En primitiv funktion till f(x) är

F(x) = x²

^{(plus en konstant men den struntar vi i)}

Sä vi kan säga att en antiderivata till 2x är x². Man säger ofta att integralen av 2x är x².

Om vi deriverar funktionen F så får vi funktionen f.

MEN du talar om en bestämd integral:

Integralen från a till b av f(x)dx

Det är mycket riktigt ett tal, nämligen F(b) – F(a). Deriverar vi det talet får vi noll, ingen höjdare.

Den bestämda integralen är mycket användbar när man ska beräkna areor (som ju är tal). Man beräknar den bestämda integralen med hjälp av den primitiva funktionen, men de är inte samma sak. Hur den primitiva funktionen hänger ihop med arean under kurvan är en av matematikens höjdare – det är inte jättesvårt att visa, men tyvärr är det nog inte många som minns beviset efter skolan.

Jag tänker inte visa beviset här, men en liten aptitretare ska du få:

Om har en integral med konstant a som undre gräns och en variabel x som övre gräns så är 

Integralen från a till x av f(t)dt 

en funktion av x. Den funktionens derivata är f(x).

1. ”Om det finns ett tal I som för alla indelningar av intervallet ligger mellan undersumman och översumman är f(x) integrerbar….” Detta stämmer inte. Låt g(x) vara en ICKE integrerbar funktion. Låt vidare S vara infimum av alla översummor och s vara supremum av alla undersummor. Då är S strängt större än s för alla indelningar. Alla tal t i intervallet s< t < S uppfyller ditt villkor ovan trots att g är icke integrerbar. Det är när S= s som fknen är Riemann-integrerbar 

Tomten skrev:

1. ”Om det finns ett tal I som för alla indelningar av intervallet ligger mellan undersumman och översumman är f(x) integrerbar….” Detta stämmer inte. Låt g(x) vara en ICKE integrerbar funktion. Låt vidare S vara infimum av alla översummor och s vara supremum av alla undersummor. Då är S strängt större än s för alla indelningar. Alla tal t i intervallet s< t < S uppfyller ditt villkor ovan trots att g är icke integrerbar. Det är när S= s som fknen är Riemann-integrerbar 

OK, litet annan vinkel på frågan. Men i Daras formulering stod det inte ”om det finns ett tal I”, utan ”om det finns precis ett tal I”.

Gör det skillnad?

I så fall är det OK. Kufiskt dock som definition. Har aldrig sett just den varianten.