Integral mellan två kurvor
Beräkna det markerade områdets area. Jag vet hur jag ska beräkna det och får rätt svar men förstår inte varför integralen blir positiv i det här fallet. Eftersom aren under x-axeln är större än arean över x-axeln så borde väl integralen bli negativ?
Uppgiften går ut på att räkna ut en area. Area är alltid positiv. När du beräknar integralerna måste du alltså se till att den integral du beräknar blir samma sak som arean, dvs du måste se till att inga tillskott blir negativa.
Kommer du vidare?
JohanF skrev:Uppgiften går ut på att räkna ut en area. Area är alltid positiv. När du beräknar integralerna måste du alltså se till att den integral du beräknar blir samma sak som arean, dvs du måste se till att inga tillskott blir negativa.
Kommer du vidare?
Men om man endast beräknar integralen då och inte arean? Jag lyckas inte få integralen negativ trots att den borde bli det eller?
Jag tror du kommer att få positivt tillskott från "area-delen" i tredje kvadranten, om du räknar integralen. (även fast den ligger under x-axeln)
Lägg upp dina uträkningar här så kan vi se exakt var det sker.
Du tar väl övre kurvan minus den undre? Jämför med att ta skillnaden mellan två tal: 5-2 = 3. Svaret blir positivt även om båda tal är negativa, förutsatt att du tar det större minus det mindre: -2 - (-5) = 3. Integralen är summan av alla övre y-värden minus de undre, för varje x (och sen den differensen gånger bredden dx). Eftersom skillnaden mellan varje par av y-värden är positiv, blir även integralen det.
JohanF skrev:Jag tror du kommer att få positivt tillskott från "area-delen" i tredje kvadranten, om du räknar integralen. (även fast den ligger under x-axeln)
Lägg upp dina uträkningar här så kan vi se exakt var det sker.
Du ser nog enklast var det händer, om du räknar tre del-integraler, en för varje kvadrant.
Detta är min lösning:
Den svarta linjen ligger över den röda linjen överallt, eller hur?
Om du ritar en ny bild av funktionen y=2x-x2-(x2-4) = 2x-2x2+4 så kommer du att se att kurvan ligger över x-axeln för de x-värden som du integrerar mellan. (Däremot ligger kurvan under x-axeln för alla andra x-värden, där den röda kurvan ligger ovanför den svarta på bilden.
Smaragdalena skrev:Den svarta linjen ligger över den röda linjen överallt, eller hur?
Om du ritar en ny bild av funktionen y=2x-x2-(x2-4) = 2x-2x2+4 så kommer du att se att kurvan ligger över x-axeln för de x-värden som du integrerar mellan. (Däremot ligger kurvan under x-axeln för alla andra x-värden, där den röda kurvan ligger ovanför den svarta på bilden.
Okej! Så det går inte riktigt att avgöra om integralen blir positiv eller negativ genom att endast kolla på arean mellan två kurvor. Tack för hjälpen!
Caolah skrev:Okej! Så det går inte riktigt att avgöra om integralen blir positiv eller negativ genom att endast kolla på arean mellan två kurvor. Tack för hjälpen!
Jodå. Se mitt förra svar. Om du tar övre kurvan minus den undre, är varje differens mellan y-värden ett positivt tal. Därför lägger du bara positiva värden till integralen, och den blir alltid positiv.
Däremot om du integrerar över ett intervall där kurvorna växlar om vilken som ligger överst, då bildas också ett negativt bidrag till integralen. Om det negativa bidraget är större än det positiva, då blir integralens värde negativt.
Caolah skrev:Smaragdalena skrev:Den svarta linjen ligger över den röda linjen överallt, eller hur?
Om du ritar en ny bild av funktionen y=2x-x2-(x2-4) = 2x-2x2+4 så kommer du att se att kurvan ligger över x-axeln för de x-värden som du integrerar mellan. (Däremot ligger kurvan under x-axeln för alla andra x-värden, där den röda kurvan ligger ovanför den svarta på bilden.
Okej! Så det går inte riktigt att avgöra om integralen blir positiv eller negativ genom att endast kolla på arean mellan två kurvor. Tack för hjälpen!
Just det. Du måste ha koll på tecknet i ditt integrationselement när du ska översätta en integrals värde till en area. Bra att det löste sig.
Skaft skrev:Caolah skrev:Okej! Så det går inte riktigt att avgöra om integralen blir positiv eller negativ genom att endast kolla på arean mellan två kurvor. Tack för hjälpen!
Jodå. Se mitt förra svar. Om du tar övre kurvan minus den undre, är varje differens mellan y-värden ett positivt tal. Därför lägger du bara positiva värden till integralen, och den blir alltid positiv.
Däremot om du integrerar över ett intervall där kurvorna växlar om vilken som ligger överst, då bildas också ett negativt bidrag till integralen. Om det negativa bidraget är större än det positiva, då blir integralens värde negativt.
Jaha! Tack så mycket!
