Integral med vinkelomskrivning

Upg: beräkna $\int \frac{dx}{\cos x}$

Min tankegång är att förlänga talet, omvandla det och sedan göra en substitution för att få ut integralen enklare.

$$\begin{gathered} \int \frac{dx}{\cos x}=\int \frac{\cos {\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle d}{\displaystyle x}}{{\displaystyle {\cos }^2}{\displaystyle x}}=\int \frac{\cos {\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle d}{\displaystyle x}}{1-{\sin }^{2}x}= \\ /u=\sin x, du=\cos x dx / = \\ \int \frac{du}{1-u^2}= \int \frac{du}{\left(1-u\right){\displaystyle \left(1+u\right)}} \end{gathered}$$

Gör  partialbråksuppdelning:

$\frac{1}{\left(1-u\right)\left(1+u\right)}= \frac{A}{1-u}+\frac{B}{1+u}$

Handpåläggning visar att A = 1/2, B = 1/2

Sätter in de nya värdena i integralen och delar på den direkt:

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}\int \frac{du}{1-u}+\frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u}= \\ \frac{1}{2}\left(\ln \left|1-u\right|+\ln \left|1+u\right|\right)+C \end{gathered}$$

Sätt tillbaka bytet, u = sinx:

$\frac{1}{2}\left(\ln \left|1-\sin x\right|+\ln \left|1+\sin x\right|\right) + C$, vilket är mitt svar.

Facit är dock:

$\frac{1}{2}\left(-\ln \left|1-\sin x\right|+\ln \left|1+\sin x\right|\right)+C$

Eftersom det bara är teckenfel på ett ställe tänker jag att jag slarvat någonstans eller att de har en annan lösningsmetod. Men den enda alternativa lösningen (som inte innefattar Euleromskrivning) som jag kommer på just nu ger inte min boks facit. Någon som ser ett fel?