integral med trigonometri

En fråga lyder: 
Jag tänkte att jag först kunde skriva om termerna så att de kan integreras:
$$\begin{gathered} 2 \sin x·\cos x=\sin 2x \Rightarrow \sin x·\cos x=\frac{\sin 2x}{2} \\ 1-2{\sin }^{2}x=\cos 2x \Rightarrow 1-{\sin }^{2}x=\frac{\cos 2x}{2} (känns som att denna inte riktigt stämmer) \end{gathered}$$
Min beräkning:

$$\begin{gathered} {\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\right(\sin x·\cos x)-(1-{\sin }^{2}x\left)\right)dx={\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}(\frac{\sin 2x}{2}-\frac{\cos 2x}{2})dx={{\left[\frac{-\cos 2x}{4}-\frac{\sin 2x}{4}\right]}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}_{\frac{\mathrm{\pi }}{4}} \\ =(\frac{\cos 2·{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{4}-\frac{\sin 2·{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{4})-(-\frac{\cos 2·{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}{4}-\frac{\sin 2·{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{4}}}{4})=-\frac{\cos {\displaystyle \mathrm{\pi }}}{4}-\frac{\mathrm{sin\pi }}{4}+\frac{\cos {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{8}-\frac{\sin {\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{8}= \\ =-(-\frac{1}{4})-0+0-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{2}{8}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8} a.e \end{gathered}$$

Enligt facit ska svaret bli $\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{\pi }}{8} a.e eller \frac{4-\mathrm{\pi }}{8} a.e$

Var blir det fel? Har stirrat mig blind