Integral med gränsvärde

Nej det inte är inte korrekt att tänka att $\epsilon\ln(\epsilon)$ är lika med $0 \cdot -\infty$. I detta fall är det däremot korrekt att $\epsilon \ln(\epsilon) \rightarrow 0$ då $\epsilon \rightarrow 0^+$. Detta är ett standardgränsvärde, det kanske blir mer uppenbart om man låter $\epsilon = e^x$, så då får man gränsvärdet

$\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^x$

Eftersom $e^x$ går mycket mycket fortare mot noll än vad $x$ går mot $-\infty$ så kommer detta gränsvärde vara 0.

Är inte med på hur man får byta epsilon mot e^x.

men har jag räknat rätt om jag istället uttrycker mig/sammanfattar med att detta GÅR mot pi, och med det är integralen konvergent med talet po - vilket här är arean under grafen som jag söker?

Man kallar egentligen bara variabeln $\epsilon$ för något annat ungefär. Om man låter $x = \ln(\epsilon)$, så vet vi att då $\epsilon \rightarrow 0^+$ så går $x \rightarrow -\infty$. Så man får att

$\epsilon \ln(\epsilon) = e^x x = xe^x$

och sätter man in gränsvärdet nu också så får man så som jag skrev.

Ja du uttrycker dig rätt om du säger att det går mot $\pi$, så det skulle vara korrekt. Sen kan det vara så att om du skriver det på en tenta så skulle dem vilja att du motiverar att $\epsilon\ln(\epsilon)$ går mot noll, vilket du kan göra genom att bara säga att det är ett standardgränsvärde.

Hej!

Eftersom funktionen $\ln y$ är obegränsad när $y$ är nära $0$ måste du studera hur integralen beter sig på ett öppet intervall $(\epsilon,1)$ där $\epsilon > 0\ .$

Om gränsvärdet

    $\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} \ln y\,\text{d}y$

existerar så är integralen lika med $-\frac{1}{\pi}$ gånger detta gränsvärde.

En partiell integration ger talet

    $\int_{\epsilon}^{1} \ln y\,\text{d}y = [y\ln y]_{\epsilon}^{1} - \int_{\epsilon}^{1}1\,\text{d}y = -\epsilon\ln \epsilon - (1-\epsilon)\ .$

Ett standardgränsvärde ger

    $\lim_{\epsilon \to 0}\epsilon\ln \epsilon = 0$

och du ser att "integral-gränsvärdet" existerar och att det är lika med $-1.$

Resultat: Talet

    $-\pi\int_{0}^{1}\ln y\,\text{d}x$

existerar och är lika med $\pi\ .$