Integral med graf

Från en 19 meter hög klippa kastas en sten rakt upp i luften med en hastighet av 8m/s. Vi bortser från luftmotståndet och räknar med en acceleration på g = 9,8m/s² vid fritt fall.

a) Bestäm ett funktionsuttryck h(t), där t är tiden sekunder, som beskriver stenens höjd över vattenytan?

b) Hur lång sträcka faller stenen från sin högsta punkt till att den når vattenytan?

Svar

På a) fick jag h(t)= 8t-4,9t²+19

Men facit vill att man ska anta att personen kastar stenen ungefär 1,8 meter över klippan så svaret blir:

h(t)= 8t-4,9t²+20,8

b) Genom h'(t) tog jag reda på tiden för högsta punkten, och när jag sätter in $t_{1}$ i h(t)= 8t - 4,9t²+19: får jag 22m vilket stämmer med facit. Men när jag kör med- h(t)= 8t-4,9t²+20,8 - får jag 24 vilket inte stämmer. Har jag gjort fel eller är det bara facit som ville ha med personens höjd på a men struntar i den på uppgift b?

Kan du ladda upp en bild av uppgiften (med eventuell tillhörande illustration) och facit?

Om det var en fysikuppgift så skulle man tänka så här:

1) Vi kan räkna ut när den når sin högsta punkt med hjälp av
$v = v_{0} + a t$ där $a = - 9, 8 m / s^{2}$ och de övriga vet vi. Det är bara t vi saknar.

2) Då kan vi räkna ut hur högt den kommer från startpunkten med hjälp av
$S = \frac{v_{0} + v}{2} \cdot t$ där får vi vår högsta punkt med S+19 m.

3) För att komma fram till svaret på a) behöver vi ta en annan formel från fysikboken för sträckan, men det kanske inte alls är tänkt att du ska lösa det på det här viset?

Kanske det är bäst om du lägger ut en bild på frågan som Yngve skrev?

Oj det här är nog lite enklare än vi tänkte. Vi ska använda integraler.

Vi vet att integrerar vi accelerationen så får vi hastigheten.

$\int a (t) d t = v (t)$ Först bestämmer vi riktningar v₀ = 8 m/s är uppåt och positiv.

a = -9,8 m/s² är riktad nedåt och alltså negativ. (Eftersom vi bestämde att v₀ är positiv. Vi hade kunnat göra tvärtom)

Om vi integrerar a(t) så får vi $v (t) = a \cdot t + c$

a = - 9,8 m/s² och eftersom vi nu har en utgångshastighet så kan vi anta att det är vår konstant c
Då får vi $v (t) = - 9, 8 t + 8$ och vi får samma ekvation som vi fick ur fysikboken i min punkt 1) ovan.

Det är nästan magiskt. När du sedan integrerar vår formel för hastigheten så får du en formel för sträckan som funktion av tiden.

Svara

Visa senaste svar