Integral med derivata

Här kan du använda produktregeln för derivata samtidigt som du utnyttjar analysens huvudsats! Då får du ett uttryck med två termer varav en innehåller en integral

Tar du sedan $f´\left(\pi \right)$ så löser sig denna integral väldigt smidigt utan att du behöver hitta nån primitiv funktion.

Har du gjort nåt försök? Det är snudd på huvudräkning om man har huvudsatsen klar för sig, men utan den är problemet hopplöst... Bra uppgift! 

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Jag har tittat närmare på primitiva funktionen. Den är knepigare än jag trodde.

rapidos skrev:

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Ja rapidos, vad är $\int e^{g\left(x\right)}dx$ om inte g(x) är en linjär funktion... Ingen framkomlig väg väl? 

Sen om jag vet vad derivatan är hur kan jag använda  analysens huvudsats?

mask134 skrev:

Sen om jag vet vad derivatan är hur kan jag använda  analysens huvudsats?

Du vet att derivatan av en primitiv funktion är funktionen i sig. Integrering och derivering är varandras inverser.

Jag använde produktreglen och fick att det blir 2x*cos(t)-x^2*sin(t).  Hur kan jag använda analysens huvudsats? 

mask134 skrev:

Jag använde produktreglen och fick att det blir 2x*cos(t)-x^2*sin(t).  Hur kan jag använda analysens huvudsats? 

Då använde du produktregeln fel - e^nånting kan inte bara försvinna.. Visa steg för steg hur du gjorde, så kan vi hjälpa dig att hitta var det blev tokigt. 

Är inte g(x) lika med cos(t)? 

Ingen hjälper va.

Pelle skrev:

rapidos skrev:

Jag antar att du kan lösa integralen först. Vad är primitiv funktion av e^g(x)?

Ja rapidos, vad är $\int e^{g\left(x\right)}dx$ om inte g(x) är en linjär funktion... Ingen framkomlig väg väl? 

Det är faktiskt så att den primitiva funktionen kan bestämmas även i andra fall än då $g(x)$ är linjär. Faktum är att problemet går att lösa om t.ex. $g(x)=\arccos(x)$.

(Men tyvärr inte för $g(x)=\cos(x)$, så detta blir väl mest kuriosa i detta sammanhang.)

Jag vet inte kan du hjälpa mig.

Okej, så här:

Låt

$g\left(x\right)=\displaystyle\int_\pi^x e^{\cos(t)}\ dt$

och då blir $f(x)=x^2\cdot g(x)$.

Enligt produktregeln så är ju

$f'(x)=2x\cdot g(x)+x^2\cdot g'(x)$

Om du nu vill bestämma $f'(\pi)$ behöver du alltså veta $g(\pi)$ och $g'(\pi)$. Kan du ta reda på dessa på något sätt?

Efter det hur använder jag analysens huvudsats?

Hej jag har försökt men jag får svaret noll.

mask134 skrev:

Hej jag har försökt men jag får svaret noll.

Vad är det du har fått till 0?

Analysens huvudsats säger ju att om du har en funktion på formen

$F\left(x\right)=\displaystyle\int_a^x f\left(t\right)\ dt$

så gäller $F'(x)=f(x)$ (under förutsättning att $f$ är kontinuerlig).

I vårt fall kan detta tillämpas på

$g\left(x\right)=\displaystyle\int_\pi^x e^{\cos(t)}\ dt$

Då blir ju $g'(x)$ helt enkelt

$g'(x)=e^{\cos(x)}$

Vad blir nu $g'(\pi)$?

Det blir isåfall g(π)= e^cos(π) = 1/e men för g'(π) = e^cos(π) blir det -1/e^2.

Vadå?

$g'\left(\pi\right)=e^{\cos(\pi)}=e^{-1}=\dfrac{1}{e}$

$g(\pi)$ har vi ju inte sagt så mycket om, men det kan vi ju kika på nu:

$g\left(\pi\right)=\displaystyle\int_\pi^\pi e^{\cos(t)}\ dt$

Vad blir denna integral? (Titta närmare på integralgränserna!)

 Är inte integralgränser båda pi och om dem är pi så är g(π)=0?

Hej när jag har nu  f'(π)= 2x*0+x^2+1/e, så kan jag stoppa in det och blir 2π*0+π^2+1/e och derivera och får 

0*0+2π+1/e där 1/e är konstant och det blir 0. Så jag får svaret 0+2π+0= 2π. Är den här korrekta svaret? 

Jag vet inte varför jag får svaret alltid noll?

Du verkar röra ihop det med att derivera saker flera gånger.

Vi har ju nu helt korrekt konstaterat att $g'(\pi)=1/e$ och $g(\pi)=0$. Vi får ju då:

$f'\left(\pi\right)=2\pi\cdot 0+\pi^2\cdot\dfrac{1}{e}=\dfrac{\pi^2}{e}$

(Detta är svaret!)

Tack  nu har jag förstått på hur man kan göra sånna uppgifter.