Integral, halvellips

Området $E$ är alltså den övre delen av ellipsen. Ett lämpligt koordinatbyte kan vara

$x=r\cos(\theta)$

$y=\sqrt2 r\sin(\theta)$

Kan du ställa upp integralen (med rätt funktionaldeterminant)?

Menar du såhär: ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}d\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2{\cos }^2\theta rdr$

Ja, fast jag tänkte att du skulle räkna ut determinanten och sätta in den också

$x=r\cos(\theta)$

$y=\frac {1}{\sqrt{2}}r\sin(\theta)$

$\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{vmatrix}=\frac{r}{\sqrt2}$

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^{\sqrt2}(r^2\cos^2\left(\theta\right)\,\frac{r}{\sqrt2})d\theta dr=\frac{\pi}{2\sqrt 2}$

Notera också gränserna för $\theta$, kom ihåg att $y>0$ (övre halvplanet)