Integral (Gaussian?)

Alltså det två nedre raderna.

Här är ett litet kul knep, om man känner till standardintegralen

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{-kx^2}dx$

Hej!

Studera talföljden $(J_{n})_{n=0}^{\infty}$ definierad som

    $J_{n} = \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^2}}\,\text{d}x\ ;$

det är känt att $J_{0} = \sigma \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ .$

En partiell integrering låter dig skriva

    $J_{n} = \frac{1}{(n+1)\sigma^2}\cdot \int_{0}^{\infty}x^{n+2} e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^2}}\,\text{d}x = \frac{1}{(n+1)\sigma^2} \cdot J_{n+2}\ ,$

så att du får det rekursiva sambandet

    $J_{n+2} = (n+1)\sigma^2 \cdot J_{n}\ .$

Du vill beräkna $J_{2}$ som då naturligtvis blir (med $n=0$)

    $J_{2} = \sigma^2 J_{0} = \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \sigma^{3}\ .$

Albiki

Hej!

För att bestämma talen $J_{n}$ för udda heltal n utgår man från följande beräkning av $J_{1}$ vilket sedan ger alla andra J-tal med udda index.

    $J_{1} = \int_{0}^{\infty} xe^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \, \text{d}x = -\sigma^2 \cdot \int_{0}^{\infty} \text{d}(e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}) = \sigma^2\ ,$

så att exempelvis

    $J_{3} = 2 \sigma^2 \cdot J_{1} = 2\sigma^{2\cdot 2}$

och

    $J_{5} = 2^{3}\sigma^{2\cdot 3}$

och

    $J_{7} = 48\sigma^{2\cdot 4}\ .$

Albiki