Integral från parameterkurva..

När man beräknar en bestämd integral behöver man inte ta med konstanter eftersom en eventuell konstant alltid försvinner vid insättningen.

Däremot får man inte din integrand om man deriverar din primitiva funktion, så något har gått galet tidigare i uppgiften.

Så var det med konstanterna ja, otroligt vad fort man hinner glömma vissa saker..
Då blir jag ännu mer förvirrad om jag inte ens fått min primitiva rätt, har testat med en kalkylator så den stämde(även om jag inte tycker funktionen är rimlig).

Kanske ska börja från början. Vi arbetar med längdformler för parameterfunktioner.
Så i detta fall är (x(t), y(t)) = ( 5t - 5sin(t), 5-5cos(t) )
Längdformeln skall då vara integralen jag tidigare visade,

L = ${\int }_0^{4pi}$rotenur(x' ² + y' ²) dt = ${\int }_0^{4pi}$$\sqrt{\left(5\sin \right(t\left)\right)²+(5-5\cos (t\left)\right)²}$dt
Detta har jag försökt verifiera så jag inte haft hjärnsläpp, så långt verkar derivata och formel stämma.
När jag räknar på det i python så får jag att svaret ska vara 80, men behöver även göra det manuellt. därav allt detta.
Har bland annat använt https://www.integral-calculator.com/ för att kontrollera min primitiv, jag infogar deras förklaring då den är betydligt renare än det jag skrivit. För att förstå alla steg har jag i princip följt hur "dom" gjort det.
Det är därifrån jag får min obestämda integral/primitiv och sedan försöker applicera mina gränser.
Problemet(som jag ser det) är att den primitiven har ett funktionsvärde som pendlar mellan +20 och -20, vilket såklart inte kommer ge något vettigt resultat när jag försöker integrera...

Jag hade förväntat mig en funktion som är strängt växande med 'hyllor', tolkat av att jag försöker beräkna kurvlängden av denna figur, där "längden" ökar i olika takt fram till ca x=32 och sen ökar igen:
Som sagt, förstår inte riktigt vart jag gör fel.

Edit: tror jag rört ihop det rejält, korrekturläser..

Okej, började om helt och försökte förenkla så långt som möjligt.

Längdformeln nu förenklad till $L =\hspace{0.17em}{\int }_0^{4pi}( 50\sin ²(t) ) dt$

Detta gör dock bara primitiven ännu värre..

Du har räknat lite fel när du tillämpar kvadreringsregeln

$(5-5\cos(t))^2=25-50\cos(t)+25\cos^2(t)$

Så under roten får du kvar $50-50\cos(t)$. Nu söker du alltså längden

$\displaystyle \int_\gamma \left |d\mathbf{r}\right|=\int_0^{4\pi} \sqrt{50\left(1-\cos(t)\right)}\,dt=80$

Om du ska räkna den för hand och du använder trigonometriska substitutioner måste du se upp så du inte springer över "intervall" som ger nämnaren noll. T.ex. föreligger stark begränsning för den vanliga "tangens för halva vinkeln"-substitutionen. Du snurrar också "två varv"

Tack! Insåg det också, riktigt rookie-miss...
Räknade om och fick som du skriver.
Detta ger ju dock bara primitiven jag hade från början, $20\cos (t/2)+C$

Dvs $\left(20\cos \right(4pi/2\left)\right) - \left(20\cos \right(0\left)\right) = 80$vilket inte stämmer.

Antar att det har att göra med det du skriver om intervallen och begränsning men förstår inte hur/vad du menar. Kan du peka på vart i uträkningarna jag gör dom felen?

Kruxet är att beräkna integralen

$\displaystyle \sqrt{50}\int_0^{4\pi} \sqrt{1-cos(t)}\,dt$

Testa att använda formeln för dubbla vinkeln:

$1-\cos(t)=2\sin^2(t/2)$

Tänk på att $\sqrt{2\sin^2(t/2)}=\sqrt2 \left| \sin(t/2)\right|$

Du kan ta bort absolutbeloppet om du nöjer dig med att beräkna integralen från $t=0$ till $t=2\pi$ (dvs halva intervallet, där $\sin(t/2)\geq 0$ och sedan ta resultatet gånger två för att täcka hela intervallet). Visa dina försök!

Edit: Förövrigt är det bättre att du använder Wolfram Alpha än den buggiga kalkylatorn. Så här

https://www.wolframalpha.com/input?i=Sqrt%5B50%5D*Integrate%5BSqrt%5B1+-+Cos%5Bt%5D%5D%2C+%7Bt%2C+0%2C+4+%5C%5BPi%5D%7D%5D

Några funderingar:

Wolfram säger att primitiva ska innehålla cot, som kommer ha 0 vilket är odefinerat?

Jag förstår inte varför vi använder halva vinkeln där? Känns som man redan måste veta flera steg framåt för att inse att det är nödvändigt? Eller är det för att få en kvadrat så vi kan bli av med rotenur på trig funktionen?

Hänger med på att sin funktionen blir ett absolutvärde dock.

Försökt dela upp allt och skriva ner för att förstå men jäklar vad trögt det går för mig..

Utgår från följande och försöker ta mig vidare så som du beskrivit:

Om jag lyckats räkna rätt så verkar det ju fungera även om jag har svårt att greppa vad jag gjort.

Det ser bra ut tycker jag (förutom sista steget). Kanske är den sista substitutionen lite onödig, borde gå att se att

Du verkar också använda $\int$ på den primitiva funktionen, vilket egentligen betyder att man ska integrera den igen. Jag förstår faktiskt inte vad du gör på slutet. Kanske använder du integraltecknet som jag använder hakparenteser.

Vad är det du inte förstår med din egen lösning? :)