Integral envariabelsanalys

Bestäm samtliga primitiva till funktionen $\frac{1}{x (x - 3)^{2}}$ .

Jag har börjat skriva det som

$\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{(x - 3)^{2}} d x$

och sedan partialintegrera, men inte lyckats komma fram till något på det viset. Genom ett steg partialintegrering får man antingen

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x - 3} - \int \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x - 3} d x$

eller

$\ln | x | \cdot \frac{1}{(x - 3)^{2}} + 2 \int \ln | x | \cdot \frac{1}{(x - 3)^{3}} d x$

och jag kan inte se hur jag ska gå vidare i något av dessa fall. Jag ser inte hur någon variabelsubstitution hjälper och inte heller någon förlängning. Kan det vara så att jag har gjort fel i början och inte bör göra en partialintegration?

Prova att partialbråksuppdela.

Hej!

När du ska integrera en rationell funktion -- en kvot av två polynomfunktioner där täljaren har lägre grad än nämnaren -- är det ofta en god idé att dela upp integranden i partialbråk. Din integrand är en rationell funktion som kan skrivas

$\frac{1}{x(x-3)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-3} + \frac{Cx+D}{(x-3)^2},$

där Handpåläggnings-metoden identifierar koefficienterna $A = \frac{1}{9}$ och $3C+D = \frac{1}{3}.$ Insättning av $x = 2$ och $x = 4$ ger de två ytterligare villkoren $\frac{1}{2} = \frac{1}{18} - B + 2C+D$ och $\frac{1}{4} = \frac{1}{36} + B + 4C+D$ .

Error converting from LaTeX to MathML

Det ger en primitiv funktion

$\int \frac{1}{x(x-3)^2}\,\text{d}x = \frac{1}{9}\ln |x| - \frac{1}{9}\ln |x-3| + \frac{1}{3}\int\frac{1}{(x-3)^2}\,\text{d}x\ .$

Den återstående integralen kan beräknas med variabelbytet $u = x-3$ vilket ger integralen

$\frac{1}{3}\int \frac{1}{u^2}\,\text{d}u = - \frac{1}{3}\frac{1}{u}\ .$

Resultat: De primitiva funktionerna är

$F(x) = \ln |\frac{x}{x-3}|^{1/9} - \frac{1}{3}\frac{1}{x-3} + C\ , \quad x \neq 0\ , x \neq 3$ där $C$ betecknar en godtycklig konstant.

Albiki

Svara