Integral cos²x-cos⁴x

Variabelbyten brukar oftast inte fungera när det är upphöjt till något jämnt. Testa skriva om med eulers formler så ska det bli något lättintegrerat.

Vet inte när komplexa tal ligger nu, men om det kommer senare borde det isf stå i formelsamlingen hur du ska skriva om cos^2 till något utan kvadrat.

Micimacko skrev:

Variabelbyten brukar oftast inte fungera när det är upphöjt till något jämnt. Testa skriva om med eulers formler så ska det bli något lättintegrerat.

Vet inte när komplexa tal ligger nu, men om det kommer senare borde det isf stå i formelsamlingen hur du ska skriva om cos^2 till något utan kvadrat.

vi har inte gått genom komplexa tal än, har inte riktigt koll på Eulers formel..

Hittar du något i formelsamlingen då?

Känner du till formlerna för dubbla vinkeln?

$\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)$

$\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)=2\cos^2(u)-1=1-2\sin^2(u)$

notera att

$\cos^2 (x)-\cos^4(x)=\cos^2(x)(1-\cos^2(x))=(\cos(x)\sin(x))^2$

D4NIEL skrev:

Känner du till formlerna för dubbla vinkeln?

$\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)$

$\cos(2u)=\cos^2(u)-\sin^2(u)=2\cos^2(u)-1=1-2\sin^2(u)$

notera att

$\cos^2 (x)-\cos^4(x)=\cos^2(x)(1-\cos^2(x))=(\cos(x)\sin(x))^2$

ja, funktionen som var i uppgiften var just (sin²xcos²x) = (sinxcosx)² (som jag skrev om till cos²x-cos⁴x men jag vet inte hur man bestämmer den primitiva funktionen till den här 

Använd formlerna för dubbla vinkeln  två gånger

första gången

$\displaystyle (\sin(x)\cos(x))^2=\frac14\sin^2(2x)$

Sen kan vi lösa ut vad en $sin^2$ är ur den andra formeln...

D4NIEL skrev:

Använd formlerna för dubbla vinkeln  två gånger

första gången

$\displaystyle (\sin(x)\cos(x))^2=\frac14\sin^2(2x)$

Sen kan vi lösa ut vad en $sin^2$ är ur den andra formeln...

jag förstår inte riktigt hur du får $\frac{1}{4}\sin ²x\left(2x\right)$, när jag använder formeln för dubbla vinkeln får jag cos²x-cos⁴x

jag använder formeln $\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)$

så $\sin(x)\cos(x)=\frac 12 \cdot 2\sin(x)\cos(x)=\frac 12\cdot \sin(2x)$

Sen ska det ju vara i kvadrat också, är du med?

D4NIEL skrev:

jag använder formeln $\sin(2u)=2\sin(u)\cos(u)$

så $\sin(x)\cos(x)=\frac 12 \cdot 2\sin(x)\cos(x)=\frac 12\cdot \sin(2x)$

Sen ska det ju vara i kvadrat också, är du med?

ja och sin² = 1-cos² 

$$\begin{gathered} \frac{(1-\cos ²x)\left(2x\right)}{4} \\ \frac{2x-2x\cos ²x}{4} \\ \frac{x}{2}-\frac{x\cos ²x}{2} \end{gathered}$$

 vi har fortfarande en produkt och cos²x...

Jag är inte med på vad du menar

Från början har vi

$(\sin(x)\cos(x))^2$

som vi skriver om enligt

$(\sin(x)\cos(x))^2=\frac14 \sin^2(2x)$

Edit: Aaah, du kanske menar att du skriver om $\sin^2(2x)$?

Använd istället

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

D4NIEL skrev:

Jag är inte med på vad du menar

Från början har vi

$(\sin(x)\cos(x))^2$

som vi skriver om enligt

$(\sin(x)\cos(x))^2=\frac14 \sin^2(2x)$

Edit: Aaah, du kanske menar att du skriver om $\sin^2(2x)$?

Använd istället

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

jag  fortsatte räkna på det du skrev här: "Sen kan vi lösa ut vad en sin² är ur den andra formeln..."

Mm, jag var inte uppmärksam, sorry. Men se om du kan använda sambandet

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

Som alltså bara den andra formeln för den dubbla vinkeln lite omskriven. (se mitt första inlägg)

dvs

$\frac14\sin^2(2x)=...$

D4NIEL skrev:

Mm, jag var inte uppmärksam, sorry. Men se om du kan använda sambandet

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

Som alltså bara den andra formeln för den dubbla vinkeln lite omskriven. (se mitt första inlägg)

dvs

$\frac14\sin^2(2x)=...$

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

Nichrome skrev:

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

Vi låter $u=2x$, så överallt där det står $u$ skriver vi istället $2x$

D4NIEL skrev:

Nichrome skrev:

nu hänger jag inte riktigt med hur kopplar vi sin²(2x) men sin²x? 

Vi låter $u=2x$, så överallt där det står $u$ skriver vi istället $2x$

ja jag ser skillnaden mellan 2x och x men skulle det inte förändra hela uttrycket för det är en sinusfunktion 

Kan hända att jag missförstår din fråga men om sambandet är

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

Så gäller det ju oavsett om vinkeln är x=15° eller om vinkeln är 30° (2x)

D4NIEL skrev:

Kan hända att jag missförstår din fråga men om sambandet är

$\displaystyle \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2}$

Så gäller det ju oavsett om vinkeln är x=15° eller om vinkeln är 30° (2x)

så vi kan skriva om det så 

$\frac{1}{4}\sin ²\left(2x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{1}{4}\times \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\cos 2x}{8}$

(återigen hur integrerar man en kvot?)

Nästan rätt fast lite slarv, tänk på att om det står $2u$ och $u=2x$ så är $2u=4x$

Så

$\frac14\sin^2(2x)=\frac18(1-\cos(4x))$

Och faktorn $\frac18$ är bara en konstant du kan sätta utanför integrationstecknet.

$\displaystyle \frac18 \int (1-\cos(4x))\,dx$