Integral av stegfunktion

Hej! Förstår inte hur man räknar integralen av en stegfunktion där den går från 1 till 0, alltså $θ (1 - t)$ och vore väldigt tacksam om någon vill förklara hur själva uträkningen ser ut.

Talet är:

$\int_{- \infty}^{t} e^{a} θ (1 - a) d a$

Jag började med att byta ut $θ (1 - a)$ mot $1 - θ (a - 1)$ och ställde upp två integraler

$\int_{- \infty}^{t} e^{a} d a$ Och $\int_{\cdot \infty}^{t} e^{a} θ (a - 1) d a$ som blir $e^{t} - (e^{t} - e) θ (t - 1)$ men det svaret är helt fel. Det ska bli

$e^{t} θ (1 - t) + e θ (t - 1)$

Hej!

Du vet att stegfunktionen $\theta(1-a)$ är lika med $1$ när $a<1$ ; för alla andra $a$ -värden är stegfunktionen lika med 0.

Om integrationsgränsen $t>1$ så kommer integralen bara att gå upp till $1$ , eftersom på det resterande intervallet (1,t) är stegfunktionen noll.

$\int_{-\infty}^{1}e^{a}\,\text{d}a = e\ .$

Om integrationsgränsen $t < 1$ så kommer integralen att gå ända upp till $t$ , eftersom då är stegfunktionen lika med $1$ på intervallet $(-\infty, t)\ .$

$\int_{-\infty}^{t}e^{a}\,\text{d}a = e^{t}\ .$

Sammanfattningsvis: Integralen kan uttryckas med hjälp av stegfunktioner som

$e^{t}\theta(1-t)+e\cdot \theta(t-1)\ .$

Albiki

Tack jag har fått rätt på det nu. Insåg också att $e^{t} - e^{t} θ (t - 1)$ är samma sak som $e^{t} θ (1 - t)$ så jag hade ju räknat rätt från början också

shangri skrev :
Tack jag har fått rätt på det nu. Insåg också att $e^{t} - e^{t} θ (t - 1)$ är samma sak som $e^{t} θ (1 - t)$ så jag hade ju räknat rätt från början också

Hej!

Javisst! Det gäller ju att

$1 = \theta(t-1) + \theta(1-t)\ .$

Albiki

Svara

Visa senaste svar