Integral av en invers

Har du ritat? Vilken area i din skiss är det du ska beräkna? 

Har ritat upp grafen, men är inte helt med på hur man kan vända på inversen och gränserna osv.

Gör som det står i uppgiften och börja med att rita kurvan f(x) och tolka integralen som en area.

Om man ritar grafen till funktionen $f(x) = 2x+\sin x$ i första kvadranten (där $0\leq f(x)\leq 2\pi$) så ser man att grafen delar en viss rektangel $[0,a]\times [0,2\pi]$ i två delar:

• den ena delen är integralen som söks i uppgiften och
• den andra delen är integralen $\int_0^{a}f(x)\,dx.$

Talet $a$ är sådant att $f(a) = 2\pi$.

Albiki skrev:

Om man ritar grafen till funktionen $f(x) = 2x+\sin x$ i första kvadranten (där $0\leq f(x)\leq 2\pi$) så ser man att grafen delar en viss rektangel $[0,a]\times [0,2\pi]$ i två delar:

• den ena delen är integralen som söks i uppgiften och
• den andra delen är integralen $\int_0^{a}f(x)\,dx.$

Talet $a$ är sådant att $f(a) = 2\pi$.

 Förstår så långt, men sedan? Tänker jag att den sökta integralen är a (som i mitt fall är pi) multiplicerat med f(a)=2pi och subtraherar integralen av f(a)? 

Ungefär. Om vi ritar ut Albikis rektangel får vi:

Det blå området (det vi eftersöker) kan beräknas genom att subtrahera värdet av integralen av $f(x)$ från $0$ till $\pi$ från arean av rektangeln. Ser du då vad arean blir?

Rita in den sökta arean ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}p\left(y\right)dy$i din skiss. Kan du hitta ett uttryck för arean av det andra området i den rektangel som Albiki talade om (lättast genom att läsa Albikis inlägg!)?

Förstår hur det hänger ihop nu! Tusen tack för all hjälp!