integral av dt/(4-t^2)

Hej allihop!

Sitter och räknar på en gammal tentauppgift och behöver hjälp med den här integralen. jag har lite svårt att förstå hur jag ska komma vidare.

Jag har kommit så här långt än så länge:

$\int {\frac{d t}{4 - t^{2}}}_{}^{} \to - \int \frac{d t}{t^{2} - 4} \to \int \frac{d t}{(t + 2) (t - 2)}$

Jag vet att jag ska använda partialbråkuppdelning, men endast svar finns i facit. En fullständig lösning hade varit mycket uppskattat då jag har klurat på den här ett tag.

Tack på förhand!

Hur ser din partialbråksuppdelning ut?

Det är den jag behöver hjälp med! Vet inte hur jag ska gå vidare.

$\frac{1}{(t+2)(t-2)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t-2}$ .

Efter man har gjort partialbråksuppdelningen tänker jag att man ska göra variabelsubstitution (u=x+2 respektive u=x-2) vilket i så fall leder till lösningen ln(x+2) respektive ln(x-2) då det är $\int {\frac{1}{u}}_{}^{}$ vi räknar ut. Tänker jag rätt här?

Hur går man vidare härifrån?

Nej, så kan du inte göra. Du måste beräkna vad konstanterna A och B faktiskt är, i detta fallet är de inte 1.

Det var det jag misstänkte också, skulle du kunna visa mig hur man får fram konstanterna på denna uppgiften?

Multiplicerar du med nämnaren i VL så fås:

$1=A(t-2)+B(t+2)$

Antingen löser du det som ett ekvationssystem, eller så kan du använda ett litet trick. Notera att detta tricket inte alltid räcker, speciellt om du har 3+ konstanter. Då får man kombinera med ekvationssystem, så öva på det också.

Tricket hur som helst utgår ifrån att vi väljer t så att vi kan bli av med en hel term. Notera att om vi väljer $t=2$ så ryker hela A(något), men vi får:

$1=4B$ , väljer vi istället $t=-2$ så får vi $1=-4A$ .

Men sedan så har det väl blivit ett litet slarvfel:

Du påstår att:

$\displaystyle - \int \dfrac{dt}{t^2-4} =\int \dfrac{dt}{(t+2)(t-2)}$ , jag håller inte med, eftersom du har missat minustecknet.

När jag jobbar vidare med problemet kommer jag fram till det här:

$\int (\frac{1}{4 (t - 2)} - \frac{1}{4 (t + 2)})$ dt som sedan blir: $\frac{1}{4} \int \frac{1}{t + 2} d t_{}^{} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{t - 2} d t_{}^{}$ detta leder sedan till det tidigarenämnda

ln(t+2) respektive ln(t-2) såhär (när minustecknet är inräknat, jag gjorde ett slarvfel innan): $\frac{\ln (| t + 2 |)}{4} - \frac{\ln (| t - 2 |)}{4} + C \to \frac{\ln (| t + 2 |) - \ln (| t - 2 |)}{4} + C$

Detta stämmer dock inte enligt facit då det ska vara $\frac{1}{4} \ln \frac{|2 + t|}{|2 - t|}$ +C

Har jag räknat fel någonstans eller är detta en omskrivning, isåfall enligt vilken regel?

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-2/logaritmer/logaritmlagarna#!/

Tack för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar