Integral av cos(1/x) (Matematik/Universitet)

Man ser sista orden i uppgiften som antagligen säger vad den går ut på. Visa hela uppgiftstexten!

Tomten skrev:
Man ser sista orden i uppgiften som antagligen säger vad den går ut på. Visa hela uppgiftstexten!

Hej!

Här kan du se samma uppgift diskuterad.

Moffen skrev:
Hej!

Här kan du se samma uppgift diskuterad.

Jag förstår ej hur ni resonerade mha jämförelse satsen

Vilket värde har integranden då $x \to \infty$ ? Kan detta avslöja om integralen är konvergent eller inte?

Calle_K skrev:
Vilket värde har integranden då $x \to \infty$ ? Kan detta avslöja om integralen är konvergent eller inte?

1 eftersom nämnaren kommer gå mot oändlighet ,så konvergent

Som du själv skriver så konvergerar 1/x mot 0 när x går mot oändligheten. Eftersom cos-funktionen är kontinuerlig på hela R så måste således cos(1/x) gå mot cos 0 =1. För M stort nog måste då cos(1/x) >= 1/2 för alla x>M. (Som i den ovan givna ledningen.) Integralen från 1 till oändligheten av funktionen cos(1/x) måste då vara större än integralen från M till oändligheten av den konstanta funktionen 1/2. Men denna integral har oändligt värde, eftersom integrationsområdet är obegränsat. Därför är integralen divergent.

destiny99 skrev:
Moffen skrev:
Hej!

Här kan du se samma uppgift diskuterad.

Jag förstår ej hur ni resonerade mha jämförelse satsen

Som du skrev i ett svar nedan så gäller mycket riktigt att värdet av integranden då $x\to+\infty$ är lika med $1$ eftersom $\lim_{x\to+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)=\cos\left(0\right)=1$ . Därför kan vi ana att för stora $x$ så beter sig integranden ungefär som $1$ , så att integralen därför borde divergera, inte konvergera, eller hur?

Argumentet vi hade var att välja ett stort nog tal $N$ så att för alla $n>N$ så gäller att $\cos\left(\frac{1}{n}\right)\geq \frac{1}{2}$ . Du måste dock motivera varför det finns ett sådant $N$ såklart. Dela sedan upp integralen i två delar:

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx=\int_1^{N}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx+\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx$ . Men nu kan vi använda en jämförelse, eftersom vi sade att vi väljer $N$ på sådant sätt att $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{1}{2}$ för alla $x>N$ . Alltså får vi olikheten

$\displaystyle \int_1^{N}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx+\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx\geq \int_1^{N}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx+\int_N^{+\infty}\frac{1}{2}dx$ .

Vad kan du säga om detta? Vad gäller för var och en av dessa integraler? Vilka kan vara bekymmer med avseende på konvergens och divergens? Vad drar du för slutsats?

Hm nu förstår jag ingenting här.

Tomten skrev:
Som du själv skriver så konvergerar 1/x mot 0 när x går mot oändligheten. Eftersom cos-funktionen är kontinuerlig på hela R så måste således cos(1/x) gå mot cos 0 =1. För M stort nog måste då cos(1/x) >= 1/2 för alla x>M. (Som i den ovan givna ledningen.) Integralen från 1 till oändligheten av funktionen cos(1/x) måste då vara större än integralen från M till oändligheten av den konstanta funktionen 1/2. Men denna integral har oändligt värde, eftersom integrationsområdet är obegränsat. Därför är integralen divergent.

Förstår ej riktigt den här M och allt går mot 1/2. Låter oklart för mig. Jag får kolla på en Youtube klipp om detta och se om jag kan lösa den sen.

destiny99 skrev:
Hm nu förstår jag ingenting här.

Vad är det du inte förstår? Varför det existerar ett sådant $N$ ? Varför vi gör på det här viset? Slutsatsen? Begreppen konvergens och divergens? Något annat?

Moffen skrev:
destiny99 skrev:
Hm nu förstår jag ingenting här.

Vad är det du inte förstår? Varför det existerar ett sådant $N$ ? Varför vi gör på det här viset? Slutsatsen? Begreppen konvergens och divergens? Något annat?

Jag tror hela ditt tråd faktiskt.. skulle behöva ta en sak i taget eftersom jag upplever uppgiften som svår nu då jag tror det handlar om bevis ?

Uppgiften handlar alltså om konvergens och divergens. Konvergens innebär i stort sett att integralen är lika med/går mot ett entydigt (reellt) tal. Om integralen inte är konvergent så är den divergent.

Det första som man alltid bör göra vid sådana uppgiften är att göra en uppskattning för att ge sig själv en idé ifall integralen är konvergent eller divergent. I det här fallet gör vi det genom att säga att för stora $x$ så gäller att $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\approx 1$ , och integralen $\displaystyle\int_1^{+\infty}1dx$ är divergent, är du med på det?

Alltså vill vi försöka visa divergens. Det lättaste sättet att göra det på i det här fallet är att göra en uppskattning, så att vi hittar en annan mindre integral som är divergent och som också går mot $+\infty$ . Det gör vi med hjälp av uppskattningen $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{1}{2}$ när $x$ är "tillräckligt stort". Men för att göra detta mer precist så säger vi att "tillräckligt stort" är alla $x$ sådana att $x>N$ för ett fixt $N$ .

Vi delar sedan upp integralen i två, där den första integralen självklart är konvergent - eftersom allt är ändligt, både integranden och gränserna. Det enda vi behöver bekymra oss om är då den andra integralen, $\displaystyle\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx$ . Men då använder vi jämförelsen att på detta intervall är $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{1}{2}$ och vi vet att integralen $\displaystyle\int_N^{+\infty}\frac{1}{2}dx$ är "lika med" $+\infty$ , så integralen är divergent.

Eftersom vår integral måste vara större än $\displaystyle\int_N^{+\infty}\frac{1}{2}dx$ på intervallet $\left(N,+\infty\right)$ så gäller även att vår integral måste gå mot $+\infty$ och därmed divergera.

Moffen skrev:
Uppgiften handlar alltså om konvergens och divergens. Konvergens innebär i stort sett att integralen är lika med/går mot ett entydigt (reellt) tal. Om integralen inte är konvergent så är den divergent.

Det första som man alltid bör göra vid sådana uppgiften är att göra en uppskattning för att ge sig själv en idé ifall integralen är konvergent eller divergent. I det här fallet gör vi det genom att säga att för stora $x$ så gäller att $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\approx 1$ , och integralen $\displaystyle\int_1^{+\infty}1dx$ är divergent, är du med på det?

Alltså vill vi försöka visa divergens. Det lättaste sättet att göra det på i det här fallet är att göra en uppskattning, så att vi hittar en annan mindre integral som är divergent och som också går mot $+\infty$ . Det gör vi med hjälp av uppskattningen $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{1}{2}$ när $x$ är "tillräckligt stort". Men för att göra detta mer precist så säger vi att "tillräckligt stort" är alla $x$ sådana att $x>N$ för ett fixt $N$ .

Vi delar sedan upp integralen i två, där den första integralen självklart är konvergent - eftersom allt är ändligt, både integranden och gränserna. Det enda vi behöver bekymra oss om är då den andra integralen, $\displaystyle\int_N^{+\infty}\cos\left(\frac{1}{x}\right)dx$ . Men då använder vi jämförelsen att på detta intervall är $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq \frac{1}{2}$ och vi vet att integralen $\displaystyle\int_N^{+\infty}\frac{1}{2}dx$ är "lika med" $+\infty$ , så integralen är divergent.

Eftersom vår integral måste vara större än $\displaystyle\int_N^{+\infty}\frac{1}{2}dx$ på intervallet $\left(N,+\infty\right)$ så gäller även att vår integral måste gå mot $+\infty$ och därmed divergera.

Jag förstår fortfarande ej var 1/2 kommer ifrån

Det är den funktion vi jämför med för att avgöra divergensen.

Calle_K skrev:
Det är den funktion vi jämför med för att avgöra divergensen.

Okej

Du kan välja vilket tal som helst mellan $\cos\left(1\right)$ och $1$ som jämförelse. Kalla det valet av tal $c$ , då gäller att integralen $\int_N^{+\infty}cdx$ är divergent (går mot oändligheten). Här har vi såklart återigen valt att $N$ är sådant att $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq c$ för alla $x>N$ .

Moffen skrev:
Du kan välja vilket tal som helst mellan $\cos\left(1\right)$ och $1$ som jämförelse. Kalla det valet av tal $c$ , då gäller att integralen $\int_N^{+\infty}cdx$ är divergent (går mot oändligheten). Här har vi såklart återigen valt att $N$ är sådant att $\cos\left(\frac{1}{x}\right)\geq c$ för alla $x>N$ .

Jag är jätte ringrostig gällande jämförelse satsen och behöver nästan ta min tid med den, det är nytt sätt o tänka. Hittills har jag fått se satsen formulerad men ej själv använt den

g(x)=1/2 är en funktion som du själv kan välja. Det måste inte vara just 1/2 . Du kan välja vilket reellt tal som helst i det ÖPPNA intervallet mellan 0 och 1. g måste inte ens vara en konstant men det blir mycket enklare att integrera en konstant. Du vet väl hur man gör?

Tomten skrev:
g(x)=1/2 är en funktion som du själv kan välja. Det måste inte vara just 1/2 . Du kan välja vilket reellt tal som helst i det ÖPPNA intervallet mellan 0 och 1. g måste inte ens vara en konstant men det blir mycket enklare att integrera en konstant. Du vet väl hur man gör?

Jo det vet jag ,men i uppgiften har vi 1 och oändlighet. Är ej säker på var du får 0 och 1 ifrån..

Har du ritat kurvan? Du kan få plats med en oändligt lång remsa mellan x-axeln och kurvan. Eftersom cos går upp till 1 (men når det inte) kan remsan vara upp till 1 bred.

destiny99 skrev:
Tomten skrev:
g(x)=1/2 är en funktion som du själv kan välja. Det måste inte vara just 1/2 . Du kan välja vilket reellt tal som helst i det ÖPPNA intervallet mellan 0 och 1. g måste inte ens vara en konstant men det blir mycket enklare att integrera en konstant. Du vet väl hur man gör?

Jo det vet jag ,men i uppgiften har vi 1 och oändlighet. Är ej säker på var du får 0 och 1 ifrån..

Du verkar tänka på integrationsgränserna, dvs. över vilket intervall vi integrerar. Tomten menar vilka tal du kan använda jämförelsesatsen på, dvs. den funktion du vill jämföra mot din integrand $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ . Det är lite skilda saker i detta sammanhang.

Moffen skrev:
destiny99 skrev:
Tomten skrev:
g(x)=1/2 är en funktion som du själv kan välja. Det måste inte vara just 1/2 . Du kan välja vilket reellt tal som helst i det ÖPPNA intervallet mellan 0 och 1. g måste inte ens vara en konstant men det blir mycket enklare att integrera en konstant. Du vet väl hur man gör?

Jo det vet jag ,men i uppgiften har vi 1 och oändlighet. Är ej säker på var du får 0 och 1 ifrån..

Du verkar tänka på integrationsgränserna, dvs. över vilket intervall vi integrerar. Tomten menar vilka tal du kan använda jämförelsesatsen på, dvs. den funktion du vill jämföra mot din integrand $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ . Det är lite skilda saker i detta sammanhang.

Oj okej hm då vet jag tyvärr ej vad som är skillnaden här. Jag får som sagt sätta mig ned med det här i lugn o ro och se vad jag kommer fram till.

Vi utgår alltså från det välkända resultatet att om $f\left(x\right)\leq g\left(x\right)$ på intervallet $\left(a,b\right)$ så gäller att:

$\displaystyle \int_a^b f\left(x\right)dx\leq\int_a^b g\left(x\right)dx$ .

Moffen skrev:
Vi utgår alltså från det välkända resultatet att om $f\left(x\right)\leq g\left(x\right)$ på intervallet $\left(a,b\right)$ så gäller att:

$\displaystyle \int_a^b f\left(x\right)dx\leq\int_a^b g\left(x\right)dx$ .

Vad ska konstanten ha för gränser?

destiny99 skrev:
Moffen skrev:
Vi utgår alltså från det välkända resultatet att om $f\left(x\right)\leq g\left(x\right)$ på intervallet $\left(a,b\right)$ så gäller att:

$\displaystyle \int_a^b f\left(x\right)dx\leq\int_a^b g\left(x\right)dx$ .

Vad ska konstanten ha för gränser?

Vad menar du? En konstant har inga gränser. Menar du integralens gränser?

Vill du fortfarande inte rita? Allt blir så mycket klarare då.

Frågeställaren menar kanske den konstant som vi uppskattar f till, för den har gränser eftersom cos-fknen har gränser. Dessa gränser kan frågeställaren ha blandat samman med integrationsgränserna. En figur med grovt skissad cos(1/x) och den uppskattande fknen t ex g(x)=1/2 inritad kan klargöra som Laguna framhåller.

Laguna skrev:
Vill du fortfarande inte rita? Allt blir så mycket klarare då.

Rita funktionen cos(1/x) på geogrbra?