Integral "arcsin"

Jag förstår inte vad du gjort. Är detta integralen:

$\int x{\sin }^{-1}\left(x\right)\mathrm{dx}$

Ja!

Testa denna substitution istället:

$x=\cos \left(u\right)$

Edit: Undvik förövrigt att använda samma beteckningar för dina funktioner i partialintegrationen och dina substitutioner. Jag fick lära mig att kalla de förstnämnda U och V istället.

Ebola skrev:

Testa denna substitution istället:

$x=\cos \left(u\right)$

Edit: Undvik förövrigt att använda samma beteckningar för dina funktioner i partialintegrationen och dina substitutioner. Jag fick lära mig att kalla de förstnämnda U och V istället.

X=cos (u)? Skulle du kunna förklara hur detta hjälper mig? 

Och jag använder u och v faktiskt 😅

Du gör bra och använder formeln 

${\int }_{}^{}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=F\left(x\right)g\left(x\right)-{\int }_{}^{}F\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)dx$ där vi sätter g(x)=arcsin(x) och f(x)=x

för att få$\frac{x^{2}arc\sin \left(x\right)}{2}-\frac{1}{2}{\int }_{}^{}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ för att lösa denna integral skulle jag använda trig substitution x=sin(a)

så får vi integralen ${\int }_{}^{}{\sin }^2\left(a\right)da$ vilket med identiteten ${\sin }^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$ blir lätt att lösa

Jag tänkte skriva om integralen till x^2 * 1/(1-x^2)^0.5

För att jag tror inte att vi lärt oss trig substitution.

Kallaskull skrev:

Du gör bra och använder formeln 

${\int }_{}^{}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=F\left(x\right)g\left(x\right)-{\int }_{}^{}F\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)dx$ där vi sätter g(x)=arcsin(x) och f(x)=x

för att få$\frac{x^{2}arc\sin \left(x\right)}{2}-\frac{1}{2}{\int }_{}^{}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$ för att lösa denna integral skulle jag använda trig substitution x=sin(a)

så får vi integralen ${\int }_{}^{}{\sin }^2\left(a\right)da$ vilket med identiteten ${\sin }^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(2x\right)}{2}$ blir lätt att lösa

Jag glömde nämna att jag inte har börjat med trig. substitution än. Alltså, jag bör kunna lösa uppgiften på annat sätt.

Du förstod inte vad jag menade. Du använder både u för att beskriva vilken funktion du ska derivera i din partialintegration och för när du substituerar. Så gör man inte, det förvirrar. Föreställ dig att jag i en fysikuppgift både kallade längden på din arm och längden på dig för L.

Soderstrom skrev:

Jag glömde nämna att jag inte har börjat med trig. substitution än. Alltså, jag bör kunna lösa uppgiften på annat sätt.

Är du säker på det? Ovan skrev du "jag tror" men nu är du alltså säker? Hursomhelst, vi kan lösa den på det svåra sättet:

$$\begin{gathered} I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left\{\begin{array}{c}u=1-x^2\\ du=-2xdx\end{array}\right\}=-\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}}du \\ \mathrm{Partialintegration}: U=\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}};\hspace{0.17em}V\text{'}=1 \\ I=-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}}u+\frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{u-u^2}}du \\ \mathrm{Kvadratkomplettering} \mathrm{ger}: \\ \frac{1}{4}\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{u}-{\mathrm{u}}^2}}\mathrm{du}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{1-{(2u-1)}^2}}\mathrm{du}=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(2\mathrm{u}-1) \\ \mathrm{Slutligen} \mathrm{har} \mathrm{vi}\mathit{:} \\ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\boxed{ -\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(1-2x^2) } \end{gathered}$$

Edit: $\mathrm{Vid} \mathrm{närmare} \mathrm{eftertanke} \mathrm{tror} \mathrm{jag} \mathrm{detta} \mathrm{är} \mathrm{helt} \mathrm{fel}.$

Ebola skrev:

Du förstod inte vad jag menade. Du använder både u för att beskriva vilken funktion du ska derivera i din partialintegration och för när du substituerar. Så gör man inte, det förvirrar. Föreställ dig att jag i en fysikuppgift både kallade längden på din arm och längden på dig för L.

Soderstrom skrev:

Jag glömde nämna att jag inte har börjat med trig. substitution än. Alltså, jag bör kunna lösa uppgiften på annat sätt.

Är du säker på det? Ovan skrev du "jag tror" men nu är du alltså säker? Hursomhelst, vi kan lösa den på det svåra sättet:

$$\begin{gathered} I=\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\left\{\begin{array}{c}u=1-x^2\\ du=-2xdx\end{array}\right\}=-\frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}}du \\ \mathrm{Partialintegration}: U=\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}};\hspace{0.17em}V\text{'}=1 \\ I=\frac{\sqrt{1-u}}{\sqrt{u}}u+\frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{u-u^2}}du \\ \mathrm{Kvadratkomplettering} \mathrm{ger}: \\ \frac{1}{2}\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{u}-{\mathrm{u}}^2}}\mathrm{du}=\int \frac{1}{\sqrt{1-{(2\mathrm{u}-1)}^2}}\mathrm{du}=\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(2\mathrm{u}-1) \\ \mathrm{Slutligen} \mathrm{har} \mathrm{vi}\mathit{:} \\ \int \frac{{\mathrm{x}}^2}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx}=\boxed{ -\frac{1}{2}\left(\mathrm{x}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}+\frac{1}{2}{\sin }^{-1}(1-2{\mathrm{x}}^2)\right) } \end{gathered}$$

Tack!! Jag förstod nu vad du menade med att jag använder samma beteckningar. Och ja, vi gick igenom trig. substitutioner men den uppgiften kommer i avsnittet före trig. sub. Så därför. Men tack igen!

Ett sista tillägg som kan vara viktigt generellt i denna tid:

Wolfram alpha ger ett annat svar och om man gräver lite har det att göra med huruvida man antar att x är större än noll eller ej. Jag tror dock att min substitution i början är rent felaktig. Jag kan återkomma imorgon med en korrekt lösning om inte någon annan hinner före.