Integral

Hej,

Har fastnat på en integral som jag ska lösa ut. Den är en del i en differentialekvation som är en del i ett bevis.

Integralen är: $\int a e^{a x} f (x) d x$ , har försökt partialintegration och försökt få det till en rundgång där jag kan dela bort integralerna mot varandra. Men jag har fastnat i att:

$\int a e^{a x} f (x) d x = e^{a x} f (x) - \int e^{a x} f' (x) d x = e^{a x} f (x) - (e^{a x} f (x) - \int a e^{a x} f (x) d x)$ och där är jag fast eftersom jag bara har min integral som är lika med sig själv.

Andra alternativ är att fortsätta åt något av hållen med f(x), men då kan jag antingen få det till primitiven F(x) eller fortsätta till f''(x) och det är ju inte så intressant eftersom jag inte vet vad f(x) är och jag vill ha bort integralen. Ett önskvärt resultat (som inte på något sätt är ekvivalent med uttrycket ovan) hade varit:

$\int a e^{a x} f (x) d x = e^{a x} f (x) - (- e^{a x} f (x) + \int a e^{a x} f (x) d x)$ , (jag vet att den här inte stämmer hehe, men vill visa vad jag strävade efter)

Som hade gett:

$\int a e^{a x} f (x) d x = e^{a x} f (x)$

Har svårt att se hur jag ska använda variabelbyte eller någon annan metod för primitiver.

hur hade ni löst den här? :)

Vänligen

Såna där integraler blir väldigt olika beroende på hur f(x) ser ut, jag vet inte hur mycket som kan sägas i det allmänna fallet. Vet man något om f(x) i ditt fall? Vad var diffekvationen från början?

Jag kanske borde postat frågan som diffekv. och lagt upp sammanhanget från början, men så här det det ut:

Nu har jag använt annorlunda notation mot boken här i frågan, men där jag fastnat är:

Ursprunglig differentialekvation: ${p^{'}}_{n} (t) + λ p_{n} (t) = λ p_{n - 1} (t)$

Jag har använt integrerande faktor och hamnat:

$\frac{d}{d t} (e^{λ t} p_{n} (t)) = λ e^{λ t} p_{n - 1} (t)$

Där jag använder integral på båda sidor och vill därför lösa ut:

$λ e^{λ t} p_{n} (t) = \int λ e^{λ t} p_{n - 1} (t) d t$

Funktionen p är olika delar i en Poisson Process där $p_{n} (t) = P [X (t) = n]$

Edit: har alltså, för att återkoppla till hur jag skrev från början, $f (x) = p_{n - 1} (t)$ och $a = λ$

Mjadu =) Jag har inte glasklar koll på detta. Men det är väl lite av ett problem att du har två olika funktioner i din ekvation, dvs. $p_n(t)$ och $p_{n-1}(t)$ . Finns det ett känt samband mellan dessa (utöver själva diffekvationen, alltså)? Så man kan uttrycka den ena med den andra, och förenkla ekvationen.

En annan tanke: Ekvationen är ju en rekursion, så jag letar efter ett basfall. Poissonfördelningen (och tydligen poissonprocesser) börjar väl vid x=0, så vad händer i din ursprungliga ekvation om n=0? Blir inte högerledet bara noll då? Isåfall har du en vanlig, homogen diffekvation åtminstone för $p_0(t)$ .

Jaaaaa det är klart!!

Du har helt rätt här Skaft! Jag ska tänka att det är en rekursion såklart...

Har att: $p_{0} (t) = e^{- λ t}$

Så: $\frac{d}{d t} [e^{λ t} p_{1} (t)] = λ e^{λ t} p_{0} (t) = λ e^{λ t} e^{- λ t} = λ$

Så: $e^{λ t} p_{1} (t) = λ e^{λ t} e^{- λ t} = \int λ d t = λ t + c < = > p_{1} (t) = (λ t + c) e^{- λ t}$

Sen ska jag använda induktion! Kanske får ordning på det här nu :)

Tack!!

Svara

Visa senaste svar