Integral

Börja med att försöka tolka villkoren geometriskt så att du förstår vilket område det gäller.

Jag vet att det är ett klot och en cylinder inuti. Men jag får inte ihop det...

Ja, det är de två första villkoren.

Hur är det med de tre sista?

Att vi förhåller oss till ena halvan av klotet och cylindern? 

Cylinderns axel sammanfaller med z-axeln.

Villkoret $z\geq0$ betyder alltså att cylindern är kapad på halva höjden.

Villkoren $x\geq0$ och $y\geq0$ betyder att det bara är en kvadrant i xy-planet som ingår i området. 

Det är alltså en "halv kvartscylinder".

Men tänk på att ovandelen inte är plan.

Vad är integranden ens? En etta?

Har jag tänkt rätt att det är den delen vi ska integrera? För nu vet jag inte hur jag går vidare.

Ta en halvsfär (ickenegativa z) med radie 10. Titta bara på ickenegativa x och y. Det blir ungefär en kvarts princesstårta. Skär bort allt där x²+y² > 99. Den får raka vertikala kanter längst ut.

Är det volymen du ska beräkna eller något annat? Sfäriska koordinater kan vara rätt.

Snygg bild!

Det är nära, men du har ritat (en del av) området som uppfyller $x^2+y^2>99$ istället för $x^2+y^2\leq99$.

Tack Laguna och Yngve, men jag får inte ihop volymen som jag ska integrera med de villkoren :(

Du har fortfarande inte berättat vad integranden är.

Kan du ladda upp en bild av uppgiften i sin helhet?

Jag skrev ju i ursprung inlägget? Vi ska räkna ut volymen i $R^3$

Bra, men du skrev bara vad området var och att det var en integral. 

Yes, såg det nu! Hur går jag vidare?

Om uppgiften gäller att beräkna områdets volym så skulle jag inte ha integrerat alls utan istället beräknat volymen av en cylinder med ett ovanpåliggande klotsegment.

Den sökta volymen är sedan en fjärdedel av detta.

Så här står det: beräkna volymen av domänen i $R^3$ given av olikheterna.

OK, och du måste alltså inte använda integraler?

Jag måste inte men kan vara bra att göra det m.h.a integral. :)

OK.

Om du vill gå den enkla vägen så kan du dela upp kroppen i en kvartscylinder och ett kvarts klotsegment och sedan använda färdiga formler för volymen av en cylinder och volymen av ett klotsegment.

Om du vill integrera så borde du (jag har inte prövat) kunna beräkna volymen som ett kvartsklot minus den yttre delen (som du ritade en del av tidigare).

Jag får fortfarande inte till det. Skulle någon kunna rita området som ska integreras? Kanske jag får till det efteråt.

EDIT: Jag är klar med kursen, men jag vill kunna det här problemet också.

Bump

Bump. 

Du har ett åttondels klot fast det fattas lite längs ekvatorn.

Det jag behöver hjälp med är hur man ställer upp integralen.

Använd cylinderkoordinater.

Den första olikheten ger "taket" på cylindern, dessutom ska $z$ vara större än 0. Det innebär att $0<z<\sqrt{100-r^2}$

Att $x$ och $y$ ska vara större än noll innebär en begränsning till den första kvadranten, $0<\varphi<\pi/2$

Slutligen ska radien $r$ variera mellan $0<r<\sqrt{99}$.

$\displaystyle \int_{r=0}^{\sqrt{99}}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{z=0}^{\sqrt{100-r^2}}r\mathrm{d}r\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z$

Tack Jroth. Men kan man använda sfäriska koordinater här också?

Ja, det är klart det går. Men då måste du dela upp integralen i två delar och dessutom genomföra ett trigonometriskt resonemang kring gränserna.

Det blir krångligare.

Cylindrar och cylinderkoordinater passar ihop. Cylindrar och sfärer är mindre kompisar och kräver mer arbete. Försök använda det koordinatsystem som ger dig enklast räkningar.

Du kan också dela upp integralen i två delar och använda olika koordinatsystem för varje del osv.